数据结构——哈夫曼树与哈夫曼编码

1. 哈夫曼树

1.1 基本概念

路径：指从根结点到该结点的分支序列。路径长度：指根结点到该结点所经过的分支数目。结点的带权路径长度：从树根到某一结点的路径长度与该结点的权的乘积。树的带权路径长度(WPL)：树中从根到所有叶子结点的各个带权路径长度之和。

哈夫曼树是由 n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树，又称最优二叉树。如上图中第三棵树就是一棵哈夫曼树。

1.2 构造哈夫曼树 构造哈夫曼树的算法步骤： ① 初始化：用给定的 n 个权值{w1,w2,…,wn}构造 n 棵二叉树并构成的森林F={T1,T2,…,Tn}，其中每一棵二叉树Ti（1<=i<=n）都只有一个权值为 wi 的根结点，其左、右子树为空。 ② 找最小树：在森林 F 中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其左、右子树的根结点权值之和。 ③ 删除与加入：从 F 中删除被选中的那两棵二叉树，同时把新构成的二叉树加入到森林 F 中。 ④ 判断：重复②、③操作，直到森林中只含有一棵二叉树为止，此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。 简单的说就是先选择权小的，所以权小的结点被放置在树的较深层，而权较大的离根较近，这样一来所构成的哈夫曼树就具有最小带权路径长度。

2. 哈夫曼编码实现 2.1 哈夫曼编码 对一棵具有n个叶子结点的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋0，右分支赋1（或左1右0），则从根到每个叶子的通路上，各个分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。哈夫曼编码是最优前缀编码，能使各种报文对应的二进制串的平均长度最短。 代码如下：

#include

#include

#include

typedef struct hnode

{ int weight;

int lchild,rchild,parent;

}HTNode,*HuffmanTree;/*定义二叉树的存储结点*/

typedef char **HuffmanCode;

void Select(HTNode HT[],int len,int &s1,int &s2)//选出权值最小的两个结点，下标通过s1和s2传出去

{

int i,min1=32767,min2=32767;

for(i=1;i<=len;i++)

{

if(HT[i].weight

{

s2=s1;

min2=min1;

min1=HT[i].weight;

s1=i;

}

else if(HT[i].weight

{ min2=HT[i].weight;

s2=i;

}

}

}

void CreateHuffman_tree(HuffmanTree &HT,int n)/*建立哈夫曼树*/

{

int s1, s2;

if(n <= 1)

{

return ;

}

int m = 2*n - 1;

HT = new HTNode[m + 1];

int i = 0;

for(i = 1; i <= m; i++)

{

HT[i].parent = 0;

HT[i].lchild = HT[i].rchild = 0;

}

printf("哈夫曼树各节点的值：");

for(i = 1; i <= n; i++)

{

scanf("%d", &HT[i].weight);

}

for(i = n + 1; i <=m; i++ )

{

Select(HT, i-1, s1, s2);

HT[s1].parent = HT[s2].parent = i;

HT[i].lchild = s1;

HT[i].rchild = s2;

HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;

}

}

void Huffman_code(HuffmanTree HT,HuffmanCode &HC,int n)/*哈夫曼树编码*/

{

char *cd;

int start = 0;

int c = 0, f = 0, i = 0;

HC = new char*[n + 1];

cd = new char[n];

cd[n-1] = '\0';

for(i = 1; i <= n; ++i)

{

start = n - 1;

c = i;

f = HT[i].parent;

while(f!= 0)

{

--start;

if(HT[f].lchild == c)

{

cd[start] = '0';

}

else

{

cd[start] = '1';

}

c = f;

f = HT[f].parent;

}

HC[i] = new char[n-start];

strcpy(HC[i], &cd[start]);

}

delete cd;

}

int main()

{

HuffmanTree HT;

HuffmanCode HC;

int i, n;

printf("哈夫曼树节点个数：");

scanf("%d",&n);

CreateHuffman_tree(HT, n);/*建立哈夫曼树*/

Huffman_code(HT,HC,n);/*哈夫曼树编码*/

for(i=1;i<=n;i++)/*输出字符、权值及编码*/

printf("编码是：%s\n",HC[i]);

return 0;

}

结果如下：

参考阅读

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