NSGA-II改进之种群初始化
1-什么是佳点集2-佳点集初始化种群的方法3-佳点集初始化种群与随机初始化种群的对比4-佳点集初始化种群代码（matlab）5-画图对比
原NSGA-II的算法在初始化种群的时候采用的是随机生成。随机代表着不确定，且随机生成的种群在整个空间上表现为不均匀；为消除随机初始化带来的不确定，和种群在空间上分布不均匀问题，由此引出新的初始化种群方式：佳点集生成种群
注：种群的初始化结果是否对种群的进化是否有影响，个人并没有做太大的研究，仁者见仁智者见智。
1-什么是佳点集
佳点集最初是由华罗庚等提出，基本定义和构造为：
假设
G
s
是
s
维的欧式几何空间，那么
r
∈
G
s
,
那么
P
n
(
i
)
=
(
r
1
i
i
,
r
2
i
2
,
r
3
i
3
,
.
.
.
r
n
i
n
)
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
n
。
n
表示样本数量，
P
n
(
i
)
表示佳点集，而
r
指的是佳点，一般取
r
=
{
2
c
o
s
(
2
π
j
k
)
i
,
1
≤
i
≤
n
;
1
≤
j
≤
s
}
或者取
r
=
{
e
j
i
}
。其中
k
是满足
(
k
−
3
)
/
2
≥
的最小素数。
\begin{aligned} &假设Gs是s维的欧式几何空间，那么r\in Gs,那么P_n(i)=(r_1i_i,r_2i_2,r_3i_3,...r_ni_n),i=1,2,3,...n。 \\&n表示样本数量，P_n(i)表示佳点集，而r指的是佳点，一般取 r=\begin{Bmatrix} 2cos(\frac{2\pi j}{k})i, 1\leq i\leq n;1\leq j\leq s \end{Bmatrix} 或者取 \\&r=\begin{Bmatrix} e^ji \end{Bmatrix}。其中k是满足( k − 3 ) / 2 ≥ 的最小素数。 \end{aligned}
假设Gs是s维的欧式几何空间，那么r∈Gs,那么Pn(i)=(r1ii,r2i2,r3i3,...rnin),i=1,2,3,...n。n表示样本数量，Pn(i)表示佳点集，而r指的是佳点，一般取r={2cos(k2πj)i,1≤i≤n;1≤j≤s}或者取r={eji}。其中k是满足(k−3)/2≥的最小素数。
2-佳点集初始化种群的方法
已知：种群所在的空间维度为n，种群数量为m
s
t
e
p
1
:
计算
r
值，
r
=
(
r
1
,
r
2
,
.
.
.
r
n
)
,
其中
r
j
=
m
o
d
(
2
c
o
s
(
2
π
j
7
)
m
i
,
1
)
,
1
≤
j
≤
n
。
m
i
表示第
i
个个体
s
t
e
p
2
：构造数量
m
的佳点集：
P
n
(
i
)
=
{
(
r
1
i
1
,
r
2
i
2
,
.
.
.
r
n
i
n
)
}
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
n
s
t
e
p
3
:
将
P
n
映射到种群所在的可行域上：
X
i
j
=
a
j
+
P
n
(
i
)
(
b
j
−
a
j
)
其中
a
j
表示当前维度的下限，
b
j
表示当前维度的上限
\begin{aligned} &step1:计算r值，r=(r_1,r_2,...r_n),其中r_j=mod(2cos(\frac{2\pi j}{7})m_i,1),1\leq j\leq n。m_i表示第i个个体\\ \\&step2：构造数量m的佳点集： \\& P_n(i)=\begin{Bmatrix} (r_1i_1,r_2i_2,...r_ni_n) \end{Bmatrix} ,i=1,2,3,...n\\ \\&step3:将P_n映射到种群所在的可行域上：\\ &X_i^j=a_j+P_n(i)(b_j-a_j) \\&其中a_j表示当前维度的下限，b_j表示当前维度的上限 \end{aligned}
step1:计算r值，r=(r1,r2,...rn),其中rj=mod(2cos(72πj)mi,1),1≤j≤n。mi表示第i个个体step2：构造数量m的佳点集：Pn(i)={(r1i1,r2i2,...rnin)},i=1,2,3,...nstep3:将Pn映射到种群所在的可行域上：Xij=aj+Pn(i)(bj−aj)其中aj表示当前维度的下限，bj表示当前维度的上限
3-佳点集初始化种群与随机初始化种群的对比
假设种群规模为100
佳点集生成
随机生成
4-佳点集初始化种群代码（matlab）
% pop_size：种群数量
% dimension：维度
% bound：取值范围
function pop = init_pop(pop_size,dimension,bounds)
%佳点集生成初始种群
p = zeros(pop_size,dimension);
prime_number_min = dimension*2 +3;
% 找到(prime_number_min-3)/2>=dimension的最小素数prime_number_min
while 1
if isprime(prime_number_min)==1
break;
else
prime_number_min = prime_number_min + 1;
end
end
for i = 1:pop_size
for j = 1:dimension
r = mod(2*cos(2*pi*j/prime_number_min)*i,1);% 对应维度的r
% r = mod(exp(j)*i,1);
p(i,j) = bounds(j,1)+r*(bounds(j,2)-bounds(j,1));
end
end
pop = p;
end
% %随机i生成定义域范围内种群
% p = rand(pop_size,dimension);%生成popsize*dimension的0-1矩阵
% for i = 1:dimension
% p(:,i) = bounds(i,1)+p(:,i)*(bounds(i,2)-bounds(i,1));
% end
5-画图对比
function test_plot_pop()
% 分别画出2维，3维情况下采用佳点集和随机生成图的对比
% 定于种群大小
pop_size = 100;
% 定义种群的取值范围
dimension_2 = 2;
dimension_3 = 3;
bounds_2 = [ones(dimension_2,1)*0,ones(dimension_2,1)*1];
bounds_3 = [ones(dimension_3,1)*0,ones(dimension_3,1)*1];
% 二维、三维的佳点集种群
pop2 = init_pop(pop_size,dimension_2,bounds_2);
pop3 = init_pop(pop_size,dimension_3,bounds_3);
% 二维、三维随机生成的种群
pop2_rand = init_pop_rand(pop_size,dimension_2,bounds_2);
pop3_rand = init_pop_rand(pop_size,dimension_3,bounds_3);
% 画出二维下图形佳点集种群，和随机种群
subplot(2,2,1)
plot(pop2(:,1),pop2(:,2),'*')
subplot(2,2,2)
plot(pop2_rand(:,1),pop2_rand(:,2),'*')
subplot(2,2,3)
plot3(pop3(:,1),pop3(:,2),pop3(:,3),'*')
subplot(2,2,4)
plot3(pop3_rand(:,1),pop3_rand(:,2),pop3_rand(:,3),'*')
end
%%
% pop_size：种群数量
% dimension：维度
% bound：取值范围
function pop = init_pop(pop_size,dimension,bounds)
%佳点集生成初始种群
p = zeros(pop_size,dimension);
prime_number_min = dimension*2 +3;
% 找到(prime_number_min-3)/2>=dimension的最小素数prime_number_min
while 1
if isprime(prime_number_min)==1
break;
else
prime_number_min = prime_number_min + 1;
end
end
for i = 1:pop_size
for j = 1:dimension
r = mod(2*cos(2*pi*j/prime_number_min)*i,1);% 对应维度的r
% r = mod(exp(j)*i,1);
p(i,j) = bounds(j,1)+r*(bounds(j,2)-bounds(j,1));
end
end
pop = p;
end
%%
function pop = init_pop_rand(pop_size,dimension,bounds)
%随机i生成定义域范围内种群
p = rand(pop_size,dimension);%生成popsize*dimension的0-1矩阵
for i = 1:dimension
p(:,i) = bounds(i,1)+p(:,i)*(bounds(i,2)-bounds(i,1));
end
pop = p;
end
可以把图画出来之后旋转不同视角下的分布对比。
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