人工智能 图论 【运筹优化】网络最大流问题及三种求解算法详解 + Python代码实现

文章目录

一、网络最大流问题二、Ford-Fulkerson 算法（最坏时间复杂度：O(f×m)）2.1 残存网络2.2 增广路径2.3 算法介绍2.4 完整代码

三、Edmons-Karp 算法（最坏时间复杂度：O(m×m×n)）3.1 算法介绍3.2 完整代码

四、Dinic 算法（最坏时间复杂度：O(m×n×n)）4.1 Level Graph4.2 算法介绍4.3 完整代码

五、三种算法的性能测试5.1 测试15.2 测试25.3 测试部分完整代码5.4 结论（仅供参考）

标题中时间复杂度用到的符号说明：f 代表最大流的大小，m代表边的数量，n 代表节点的数量 本博客学习自：B站-ShusenWang

一、网络最大流问题

最大流问题，是网络流理论研究的一个基本问题，求网络中一个可行流

f

∗

f*

f∗，使其流量

v

(

f

)

v(f)

v(f)达到最大， 这种流

f

f

f 称为最大流，这个问题称为 (网络)最大流问题。

最大流问题是一个特殊的线性规划问题，就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。

下面我们用一个例子来直观理解网络最大流问题

如下图所示，S处是一个水源，图中的弧是水管，管道由于材质、直径的不同，其所能承受的输水量也不同，所以就出现了下图所示的不同数值的弧，我们的目标是将水源从 S 通过管道运输到 T 点，且在满足管道能承受的输水量的前提下尽可能使得输送到 T 点的水最大化。

这就是最大流问题。

二、Ford-Fulkerson 算法（最坏时间复杂度：O(f×m)）

2.1 残存网络

残存网络其实就是用边的剩余容量来表示每条边，如下图所示的残存网络。S->v2这条边上的数字“2”代表这条边剩余可通过容量为2。

实际写代码只用残存网络即可求出最大流

2.2 增广路径

一条能从起点S到达起点T的流量大于0的路径就被称为增广路径，通过增广路径，流量一定会增加。

2.3 算法介绍

该算法概况起来，就是在残存网络中不断寻找增广路径，每找到一条增广路径，就递增最大流

f

f

f，并更新残存网络，直到残存网络中不存在增广路径，则此时f即为最终的最大流。

Ford-Fulkerson 算法是通过 DFS（深度优先遍历）的方式在当前残存网络中寻找增广路径的。

根据木桶原理，增广路径的流量等于该路径的边的最小剩余流量。如下图所示的增广路径，它的流量就是3，因为 v4->t 的容量为3

在找到增广路径后，我们要更新残存网络。首先就是对该增广路径的正向边进行更新，将正向边的剩余流量全部减去3

然后对该增广路径的反向边进行更新（反向边在初始化的时候，剩余流量都为0，所以在上面的图中没有画出来，反向边的作用就是让算法可以反悔，从而通过多次迭代，找到最优解），反向边的剩余流量全部加上3

添加反向边是这一算法能够精确求解最大流问题的基础保障

然后重复上述过程，直到找不到增广路径，算法结束

Ford-Fulkerson 算法的整体实现思路如下，其实就是不断从残存网络寻找增广路径的过程

2.4 完整代码

完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-#

# Author: WSKH

# Blog: wskh0929.blog.csdn.net

# Time: 2023/2/13 9:45

# Description: Ford Fulkerson 算法求解最大流问题

class Node:

def __init__(self, name, arc_dict):

self.name = name

self.arc_dict = arc_dict

def create_node(name, next_list, flow_list):

arc_dict = {}

for i in range(len(next_list)):

arc_dict[next_list[i]] = flow_list[i]

return Node(name, arc_dict)

def Ford_Fulkerson_Solve(s, e, node_list, name_index_dict):

'''

Ford_Fulkerson 算法核心函数

:param s: 起始节点名称

:param e: 终止节点名称

:param node_list: 节点列表

:param name_index_dict: 节点名字和索引字典

:return: 返回搜索到的所有增广路径及其流值

'''

routes = []

while True:

res = dfs(e, [s], None, node_list, name_index_dict)

if res is None:

return routes

# 追加增广路径到routes

routes.append(res)

# 更新node_list

route, flow = res

for i in range(len(route) - 1):

n1 = node_list[name_index_dict[route[i]]]

n2 = node_list[name_index_dict[route[i + 1]]]

# 正向更新 n1 -> n2 剩余流量减少

if n2.name in n1.arc_dict.keys() and n1.arc_dict[n2.name] is not None:

n1.arc_dict[n2.name] = n1.arc_dict[n2.name] - flow

# 反向更新 n2 -> n1 剩余流量增加

if n1.name in n2.arc_dict.keys() and n2.arc_dict[n1.name] is not None:

n2.arc_dict[n1.name] = n2.arc_dict[n1.name] + flow

def dfs(e, cur_route, last_flow, node_list, name_index_dict):

'''

DFS搜索增广路径

:param e: 终点节点名称

:param cur_route: 当前路径

:param last_flow: 上一个节点的流值，用来计算最小流

:param node_list: 节点列表

:param name_index_dict: 节点名字和索引字典

:return: 返回搜索到的增广路径及其流值，如果没找到就返回 None

'''

if cur_route[-1] == e:

return cur_route, last_flow

index = name_index_dict[cur_route[-1]]

for next_node_name in node_list[index].arc_dict.keys():

if next_node_name not in cur_route:

flow = node_list[index].arc_dict[next_node_name]

if flow is None or flow > 0:

cur_route.append(next_node_name)

res = dfs(e, cur_route, min_flow(last_flow, flow), node_list, name_index_dict)

if res is not None:

return res

cur_route.pop(-1)

def min_flow(f1, f2):

'''

求两个流量的较小者

'''

if f1 is None:

return f2

elif f2 is None:

return f1

else:

return min(f1, f2)

if __name__ == '__main__':

# 格式: [节点名, 后继节点的名称, 当前节点到各个后继的流量] （None 代表流量无穷大）

graph = [

["S", ["1", "2", "3"], [None, None, None]],

["1", ["4"], [1]],

["2", ["4", "6"], [1, 1]],

["3", ["5"], [1]],

["4", ["1", "2", "E"], [0, 0, 1]],

["5", ["3", "E"], [0, 1]],

["6", ["2", "E"], [0, 1]],

["E", [], []]

]

name_index_dict = dict()

node_list = []

for i in range(len(graph)):

node_list.append(create_node(graph[i][0], graph[i][1], graph[i][2]))

name_index_dict[graph[i][0]] = i

# 调用算法求解最大流

routes = Ford_Fulkerson_Solve("S", "E", node_list, name_index_dict)

for i, (route, flow) in enumerate(routes):

print(f"Route-{i + 1}: {route} , flow: {flow}")

测试案例

程序输出

Route-1: ['S', '1', '4', 'E'] , flow: 1

Route-2: ['S', '2', '6', 'E'] , flow: 1

Route-3: ['S', '3', '5', 'E'] , flow: 1

三、Edmons-Karp 算法（最坏时间复杂度：O(m×m×n)）

3.1 算法介绍

Edmons-Karp 算法比 Ford-Fulkerson 算法晚16年提出，它和 Ford-Fulkerson 算法唯一的区别在于寻找增广路径的方式不同，其余步骤完全一样。Edmons-Karp 算法在寻找增广路的时候是将残存网络看作一个无权图然后求S到T的最短路，这条最短路上的最小剩余流量如果大于0，那么就作为增广路径，进行残存网络的更新。

Edmons-Karp 算法贡献在于，它具有比 Ford-Fulkerson 算法更小的时间复杂度，Ford-Fulkerson 算法的时间复杂度受最大流大小影响，而 Edmons-Karp 算法只受节点数量和边的数量的影响

3.2 完整代码

本代码使用 BFS（广度优先搜索） 求最短路，测试案例还是和上面的一样

# -*- coding: utf-8 -*-#

# Author: WSKH

# Blog: wskh0929.blog.csdn.net

# Time: 2023/2/13 11:54

# Description: Edmons Karp 算法求解最大流问题

from queue import PriorityQueue

class Node:

def __init__(self, name, arc_dict):

self.name = name

self.arc_dict = arc_dict

class Label:

def __init__(self, route, last_flow):

self.route = route

self.last_flow = last_flow

def __lt__(self, o):

if len(self.route) == len(o.route):

return 0

else:

return 1 if len(self.route) > len(o.route) else -1

def create_node(name, next_list, flow_list):

arc_dict = {}

for i in range(len(next_list)):

arc_dict[next_list[i]] = flow_list[i]

return Node(name, arc_dict)

def Edmons_Karp_Solve(s, e, node_list, name_index_dict):

'''

Edmons Karp 算法核心函数

:param s: 起始节点名称

:param e: 终止节点名称

:param node_list: 节点列表

:param name_index_dict: 节点名字和索引字典

:return: 返回搜索到的所有增广路径及其流值

'''

routes = []

while True:

res = bfs(s, e, node_list, name_index_dict)

if res is None:

return routes

# 追加增广路径到routes

routes.append([res.route, res.last_flow])

# 更新node_list

route, flow = res.route, res.last_flow

for i in range(len(route) - 1):

n1 = node_list[name_index_dict[route[i]]]

n2 = node_list[name_index_dict[route[i + 1]]]

# 正向更新 n1 -> n2 剩余流量减少

if n2.name in n1.arc_dict.keys() and n1.arc_dict[n2.name] is not None:

n1.arc_dict[n2.name] = n1.arc_dict[n2.name] - flow

# 反向更新 n2 -> n1 剩余流量增加

if n1.name in n2.arc_dict.keys() and n2.arc_dict[n1.name] is not None:

n2.arc_dict[n1.name] = n2.arc_dict[n1.name] + flow

def bfs(s, e, node_list, name_index_dict):

queue = PriorityQueue()

queue.put(Label([s], None))

while queue.empty() is False:

res = queue.get()

index = name_index_dict[res.route[-1]]

for next_node_name in node_list[index].arc_dict.keys():

if next_node_name not in res.route:

flow = node_list[index].arc_dict[next_node_name]

if flow is None or flow > 0:

route = res.route.copy()

route.append(next_node_name)

if next_node_name == e:

return Label(route, min_flow(res.last_flow, flow))

queue.put(Label(route, min_flow(res.last_flow, flow)))

def min_flow(f1, f2):

'''

求两个流量的较小者

'''

if f1 is None:

return f2

elif f2 is None:

return f1

else:

return min(f1, f2)

if __name__ == '__main__':

# 格式: [节点名, 后继节点的名称, 当前节点到各个后继的流量] （None 代表流量无穷大）

graph = [

["S", ["1", "2", "3"], [None, None, None]],

["1", ["4"], [1]],

["2", ["4", "6"], [1, 1]],

["3", ["5"], [1]],

["4", ["1", "2", "E"], [0, 0, 1]],

["5", ["3", "E"], [0, 1]],

["6", ["2", "E"], [0, 1]],

["E", [], []]

]

name_index_dict = dict()

node_list = []

for i in range(len(graph)):

node_list.append(create_node(graph[i][0], graph[i][1], graph[i][2]))

name_index_dict[graph[i][0]] = i

# 调用算法求解最大流

routes = Edmons_Karp_Solve("S", "E", node_list, name_index_dict)

for i, (route, flow) in enumerate(routes):

print(f"Route-{i + 1}: {route} , flow: {flow}")

程序输出

Route-1: ['S', '1', '4', 'E'] , flow: 1

Route-2: ['S', '2', '6', 'E'] , flow: 1

Route-3: ['S', '3', '5', 'E'] , flow: 1

四、Dinic 算法（最坏时间复杂度：O(m×n×n)）

由于边的数量 m 通常远远大于节点数量 n，所以通常情况下 Dinic 算法比 Edmons-Karp 算法更快。而且 Dinic 算法发表时间比 Edmons-Karp 算法还要早两年。

为了更好的讲解 Dinic 算法，下面先介绍一个重要的概念 Level Graph

4.1 Level Graph

Level Graph 是原图的一个子图，保留了原图中的所有节点和一部分边，下面图解 Level Graph 的构造过程

首先，将 S 作为 Level Graph 的第零层

然后，从 S 出发，可以到达的点有 v2，将 v2 加入 Level Graph，记作第一层 ，保留第零层到第一层的边

看一下右边的原图，从第一层可以到达的节点有 S 和 v4，由于 S 已经在 Level Graph 中了，所以不考虑。将 v4 加入 Level Graph，记作第二层，保留第一层到第二层的边。

看一下右边的原图，从第二层可以到达的节点有 v1、v2和v3，由于 v2 已经在 Level Graph中了，所以只考虑 v1和v3，将它们加入 Level Graph，记作第三层，保留第二层到第三层的边

看一下右边的原图，从第三层可以到达所有节点，由于目前只剩下节点 t 没有加入 Level Graph，所以将 t 加入 Level Graph，记作第四层，保留第三层到第四层的边。

至此，原图的 Level Graph 构造完毕！Level Graph 中节点的层数代表着从起点到达该起点所需要的最少步数（其实就是无权图下的最短路），这么看来，Dinic 算法其实结合了 Ford-Filkerson 和 Edmons-Karp 两个算法的思想呀！

4.2 算法介绍

介绍完 Level Graph，下面开始正式介绍 Dinic 算法！

4.3 完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-#

# Author: WSKH

# Blog: wskh0929.blog.csdn.net

# Time: 2023/2/13 19:26

# Description: Dinic 算法求解最大流问题

import numpy as np

class Node:

def __init__(self, name, arc_dict):

self.name = name

self.arc_dict = arc_dict

def create_node(name, next_list, flow_list):

arc_dict = {}

for i in range(len(next_list)):

arc_dict[next_list[i]] = flow_list[i]

return Node(name, arc_dict)

def create_level_graph(s, e, node_list, name_index_dict):

level_graph = np.zeros((len(node_list), len(node_list))).tolist()

cur_layer = [s]

all_node = set()

all_node.add(s)

next_layer = set()

while len(cur_layer) > 0:

for node_name in cur_layer:

node = node_list[name_index_dict[node_name]]

for key in node.arc_dict.keys():

if key not in all_node and (node.arc_dict[key] is None or node.arc_dict[key] > 0):

level_graph[name_index_dict[node_name]][name_index_dict[key]] = node.arc_dict[key]

next_layer.add(key)

all_node.add(key)

cur_layer = list(next_layer)

next_layer = set()

return level_graph if e in all_node else None

def Dinic_Solve(s, e, node_list, name_index_dict):

routes = []

s_index = name_index_dict[s]

e_index = name_index_dict[e]

level_graph = create_level_graph(s, e, node_list, name_index_dict)

while level_graph is not None:

res_list = []

while True:

res = dfs(e_index, [s_index], None, level_graph)

if res is None:

break

# 更新 level graph

route, flow = res

for i in range(len(route) - 1):

if level_graph[route[i]][route[i + 1]] is not None:

level_graph[route[i]][route[i + 1]] -= flow

# 追加记录增广路径

res_list.append(res)

routes.append([[node_list[n].name for n in res[0]], res[1]])

# 更新残存网络

for res in res_list:

update(res, node_list)

# 重新构造 level graph

level_graph = create_level_graph(s, e, node_list, name_index_dict)

return routes

def update(res, node_list):

route, flow = res

for i in range(len(route) - 1):

n1 = node_list[route[i]]

n2 = node_list[route[i + 1]]

# 正向更新 n1 -> n2 剩余流量减少

if n2.name in n1.arc_dict.keys() and n1.arc_dict[n2.name] is not None:

n1.arc_dict[n2.name] = n1.arc_dict[n2.name] - flow

# 反向更新 n2 -> n1 剩余流量增加

if n1.name in n2.arc_dict.keys() and n2.arc_dict[n1.name] is not None:

n2.arc_dict[n1.name] = n2.arc_dict[n1.name] + flow

def dfs(e_index, cur_route, last_flow, level_graph):

if cur_route[-1] == e_index:

return cur_route, last_flow

for next_node in range(len(level_graph)):

if next_node not in cur_route:

if level_graph[cur_route[-1]][next_node] is None or level_graph[cur_route[-1]][next_node] > 0:

flow = min_flow(level_graph[cur_route[-1]][next_node], last_flow)

cur_route.append(next_node)

res = dfs(e_index, cur_route, flow, level_graph)

if res is not None:

return res

cur_route.pop(-1)

def min_flow(f1, f2):

'''

求两个流量的较小者

'''

if f1 is None:

return f2

elif f2 is None:

return f1

else:

return min(f1, f2)

if __name__ == '__main__':

# 格式: [节点名, 后继节点的名称, 当前节点到各个后继的流量] （None 代表流量无穷大）

graph = [

["S", ["1", "2", "3"], [None, None, None]],

["1", ["4"], [1]],

["2", ["4", "6"], [1, 1]],

["3", ["5"], [1]],

["4", ["1", "2", "E"], [0, 0, 1]],

["5", ["3", "E"], [0, 1]],

["6", ["2", "E"], [0, 1]],

["E", [], []]

]

name_index_dict = dict()

node_list = []

for i in range(len(graph)):

node_list.append(create_node(graph[i][0], graph[i][1], graph[i][2]))

name_index_dict[graph[i][0]] = i

# 调用算法求解最大流

routes = Dinic_Solve("S", "E", node_list, name_index_dict)

for i, (route, flow) in enumerate(routes):

print(f"Route-{i + 1}: {route} , flow: {flow}")

程序输出

Route-1: ['S', '3', '5', 'E'] , flow: 1

Route-2: ['S', '1', '4', 'E'] , flow: 1

Route-3: ['S', '2', '6', 'E'] , flow: 1

五、三种算法的性能测试

本节测试所用的案例是随机案例，如下图所示，根据指定的 m 和 n，构造一个中间有两层节点的网络图

5.1 测试1

在测试1中，固定 m = 10，n 从 2 开始以 1 的步长一直自增到 20

5.2 测试2

在测试2中，固定 n = 10，m 从 2 开始以 1 的步长一直自增到 20

5.3 测试部分完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-#

# Author: WSKH

# Blog: wskh0929.blog.csdn.net

# Time: 2023/2/13 15:23

# Description:

import time

import random

from matplotlib import pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号 #有中文出现的情况，需要u'内容'

from EdmonsKarp import Edmons_Karp_Solve

from FordFulkerson import Ford_Fulkerson_Solve

from Dinic import Dinic_Solve

from copy import deepcopy

class Node:

def __init__(self, name, arc_dict):

self.name = name

self.arc_dict = arc_dict

def create_node(name, next_list, flow_list):

arc_dict = {}

for i in range(len(next_list)):

arc_dict[next_list[i]] = flow_list[i]

return Node(name, arc_dict)

def create_instance(m, n, seed=666):

random.seed(seed)

S = "S"

E = "E"

node_list = []

name_index_dict = {}

name_index_dict["S"] = 0

name_index_dict["E"] = m + n + 1

for i in range(m + n):

name_index_dict[str(i + 1)] = i + 1

# 构造起点

node_list.append(create_node("S", [str(i + 1) for i in range(m)], [random.randint(800, 1200) for _ in range(m)]))

# 构造第一层

for i in range(m):

node_list.append(

create_node(str(i + 1), [str(i + j + 2) for j in range(n)], [random.randint(800, 1200) for _ in range(n)]))

# 构造第二层

for i in range(n):

next_list = ["E"]

flow_list = [random.randint(800, 1200)]

for j in range(m):

next_list.append(str(j + 1))

flow_list.append(0)

node_list.append(create_node(str(m + i + 1), next_list, flow_list))

# 构造终点

node_list.append(create_node("E", [], []))

return S, E, node_list, name_index_dict

def test1():

m = 10

n_arr = [i for i in range(1, 21, 1)]

time_dict = {

"Ford-Fulkerson": [],

"Edmons-Karp": [],

"Dinic": []

}

for n in n_arr:

instance = create_instance(m, n)

S, E, node_list, name_index_dict = deepcopy(instance)

start_time = time.time()

Ford_Fulkerson_Solve(S, E, node_list, name_index_dict)

time_dict["Ford-Fulkerson"].append(time.time() - start_time)

S, E, node_list, name_index_dict = deepcopy(instance)

start_time = time.time()

Edmons_Karp_Solve(S, E, node_list, name_index_dict)

time_dict["Edmons-Karp"].append(time.time() - start_time)

S, E, node_list, name_index_dict = deepcopy(instance)

start_time = time.time()

Dinic_Solve(S, E, node_list, name_index_dict)

time_dict["Dinic"].append(time.time() - start_time)

plot(time_dict, n_arr, "固定m为10，n与运行时间的关系", "n")

def test2():

n = 10

m_arr = [i for i in range(1, 21, 1)]

time_dict = {

"Ford-Fulkerson": [],

"Edmons-Karp": [],

"Dinic": []

}

for m in m_arr:

print(m)

instance = create_instance(m, n)

S, E, node_list, name_index_dict = deepcopy(instance)

start_time = time.time()

Ford_Fulkerson_Solve(S, E, node_list, name_index_dict)

time_dict["Ford-Fulkerson"].append(time.time() - start_time)

S, E, node_list, name_index_dict = deepcopy(instance)

start_time = time.time()

Edmons_Karp_Solve(S, E, node_list, name_index_dict)

time_dict["Edmons-Karp"].append(time.time() - start_time)

S, E, node_list, name_index_dict = deepcopy(instance)

start_time = time.time()

Dinic_Solve(S, E, node_list, name_index_dict)

time_dict["Dinic"].append(time.time() - start_time)

plot(time_dict, m_arr, "固定n为10，m与运行时间的关系", "m")

def plot(time_dict, arr, title, x_label):

for key in time_dict.keys():

plt.plot(arr, time_dict[key], marker=".", label=key)

plt.legend()

plt.xlabel(x_label)

plt.ylabel("运行时间(s)")

plt.title(title)

plt.grid(True)

plt.show()

if __name__ == '__main__':

# test1()

test2()

5.4 结论（仅供参考）

当点的数量远大于边的数量时，采用 Edmons-Karp 算法否则采用 Ford-Filkerson 算法和 Dinic 算法（在我的测试中，这两种该算法性能差不多，不过 Dinic 算法看起来更加稳健一些，当然有条件的话最好都尝试一下）

相关文章

 您阅读本篇文章共花了：