信号处理信息与通信算法 Matlab 如何计算正弦信号的幅值和初始相角

Matlab 如何计算正弦信号的幅值和初始相角

1、概述

如果已知一个正弦信号的幅值，在FFT后频域上该信号谱线的幅值与设置值不同，而是大了许多；如果不知道某一正弦信号的幅値，又如何通FFT后在頻域上求出该正弦信号的幅值呢?

2、理论基础

有一正弦信号为

信号的幅值为，初始相角为。以采样频率采样后，FFT(DFT)只取有限项的 n 值（设共 N 项），其离散化表达式为：

式中：。又进一步假设，正弦信号的频率是的整数倍（是频谱中谱线之间频率间隔，或称为分辨率，即），即有，表示是与FFT后频谱上的某根线谱相重合，可令与第条线谱相重合，即，所以有。由 k = 0 和式（2-2-10）可得：

求出了信号幅值，同时也求出了初始相角。

这种方法求出正弦信号幅值和初始相角是在信号的頻率与FFT后频谱上的某根谱线相重合的条件下。如果在两条谱线之间，則不能用这种方法来计算。这就是栅栏效应，我们可以用内插的方法来算信号在两条谱线之间分量的频率、幅值和初始相角。当时，不存在負頻率部分，所以的幅値，初始相角。同时从式(2-2-10)得到，对于所有，设，，，……，此时，使的值均为0。

3、实例

例：设信号的采样频率为1000Hz，由两个余弦信号组成，频率分别为 f1=50Hz 和 f2=65.75Hz，幅值都为1，初始相角都为0，信号长度为1000，通过FFT求出两个正弦信号的幅值和初始相角。

程序如下：

% 例：设信号的采样频率为1000Hz，由两个余弦信号组成，频率分别为 f1=50Hz 和 f2=65.75Hz，

% 幅值都为1，初始相角都为0，信号长度为1000，通过FFT求出两个正弦信号的幅值和初始相角。

% pr2_2_2

clc; close all; clear;

fs = 1000; %采样频率

N = 1000; %信号长度

t = (0:N-1)/fs; %设置时间序列

f1 = 50;

f2 = 65.75; %信号2频率

x = cos(2*pi*f1*t) + cos(2*pi*f2*t); %设置信号

X = fft(x); %FFT

Y = abs(X)*2/N; %计算幅值

freq = (0:N/2)*fs/N; %设置频率刻度

[A1, k1] = max(Y(45:65)); %寻求第一个信号的幅值

k1 = k1 + 44; %修正索引号

[A2, k2] = max(Y(60:70)); %寻求第二个信号的幅值

k2 = k2 + 59; %修正索引号

Theta1 = angle(X(k1));

Theta2 = angle(X(k2));

% 显示频率、幅值和初始相角

fprintf('f1=%5.2f A1=%5.4f Theta1=%5.4f\n',freq(k1),A1,Theta1);

fprintf('f2=%5.2f A2=%5.4f Theta2=%5.4f\n',freq(k2),A2,Theta2);

% 作图

figure('Name','幅值频谱图')

subplot 211; plot(freq,Y(1:N/2+1),'k'); xlim([0 150]);

xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); title('频谱图');

subplot 223; stem(freq,Y(1:N/2+1),'k'); xlim([40 60]);

xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); title('50Hz分量');

subplot 224; stem(freq,Y(1:N/2+1),'k'); xlim([55 75]);

xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); title('65.75Hz分量');

其中 f1 和 f2 表示两信号的頻率，A1 和 A2 表示两信号的幅値，Thetal 和 Theta2 表示两信号的初始相角。第2个信号在两条谱线之间，所以出的参数有很大的差；而第1个信号非常接近设置值，但是有一定的误差，这完全是由第2个信号泄漏所造成的(可通过加窗函数处理该信号，以减少泄漏，对信号参数的估算値能更精确一些)。

4、拓展：整周期采样

在理论基础部分，假设正弦信号的频率是的整数倍，即有，是整数，满足这一条件采得的数据称为整周期采样。把这一条件再进一步展开，可得：，这说明在已知采样频率、数据长度 N 及正弦信号频率下，当满足上面关系式时，该数据对信号是整周期采样。

在上面的例子中，该数据对是整周期采样，而对不是整周期采样。

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