已知
12口井的坐标位置如下: x=[0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98, 9.50]; y=[2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];设平面有n个点
P
i
P_i
Pi(表旧井井位),其坐标为
(
a
i
,
b
i
)
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
(a_i,b_i),i=1,2,…,n
(ai,bi),i=1,2,…,n。新置的井位是一个正方形网格
N
N
N的所有结点。假设每个格子的边长都是
1
1
1单位。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点
P
i
P_i
Pi距某个网格结点
X
i
X_i
Xi的距离不超过给定误差
ϵ
\epsilon
ϵ,则认为
P
i
P_i
Pi处的旧井井位可以利用,不必在结点处打新井。
需要研究的问题
1)假定网格的横向和纵向是固定的,并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差的绝对值)及纵向距离(纵坐标之差的绝对值)的最大者,在平面上平移网格N,使可利用的旧井数尽可能大,试提供数值计算方法。给出12口井的坐标，
ϵ
=
0.05
\epsilon = 0.05
ϵ=0.05 , 按照问题一的要求求解
1)假定网格的横向和纵向是固定的,并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差的绝对值)及纵向距离(纵坐标之差的绝对值)的最大者,在平面上平移网格N,使可利用的旧井数尽可能大,试提供数值计算方法。
本题主要是要建立旧井可利用判断模型
首先是按照题目建立两点距离符合误差
ϵ
\epsilon
ϵ范围内的判断模型 若一个已知点
P
i
P_i
Pi
(
a
i
,
b
i
)
(a_i,b_i)
(ai,bi)距某个网格结点
X
i
(
x
i
,
y
i
)
X_i(x_i,y_i)
Xi(xi,yi)的距离不超过给定误差
ϵ
\epsilon
ϵ
{
∣
a
i
−
x
i
∣
≤
ϵ
∣
b
i
−
y
i
∣
≤
ϵ
\begin{cases} |a_i-x_i| \le \epsilon \\ |b_i-y_i| \le \epsilon \end{cases}
{∣ai−xi∣≤ϵ∣bi−yi∣≤ϵ 或者
max
(
∣
a
i
−
x
i
∣
,
∣
b
i
−
y
i
∣
)
≤
ϵ
\max{(|a_i-x_i|,|b_i-y_i|)}\le \epsilon
max(∣ai−xi∣,∣bi−yi∣)≤ϵ
其次是网格平移模型，因为要研究的是网格平行对井的位置变化 设网格向右平移
x
x
x个单位，向上平移
y
y
y个单位;一个已知点
P
i
P_i
Pi
(
a
i
,
b
i
)
(a_i,b_i)
(ai,bi) ;网格平移后新点位置
P
j
(
a
j
,
b
j
)
P_j(a_j,b_j)
Pj(aj,bj) 有
{
a
j
=
a
i
+
x
b
j
=
b
i
+
y
\begin{cases} a_j = a_i+x \\ b_j = b_i + y \end{cases}
{aj=ai+xbj=bi+y
综合上述模型和要可利用的旧井数尽可能大可得模型:
{
a
n
s
=
max
∑
i
∈
N
1
≤
i
≤
n
f
i
max
(
∣
a
i
+
x
−
x
i
∣
,
∣
b
i
+
y
−
y
i
∣
)
f
i
≤
ϵ
\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ \max{(|a_i+x-x_i|,|b_i + y-y_i|)f_i}\le \epsilon \end{cases}
{ans=max∑i∈N1≤i≤nfimax(∣ai+x−xi∣,∣bi+y−yi∣)fi≤ϵ
现在还剩下一个问题某个网格结点
X
i
(
x
i
,
y
i
)
X_i(x_i,y_i)
Xi(xi,yi)是哪个网格点 这里问题就可以变成一个已知点
P
j
P_j
Pj
(
a
j
,
b
j
)
(a_j,b_j)
(aj,bj)求距离其最近的网格点
X
j
(
x
j
,
y
j
)
X_j(x_j,y_j)
Xj(xj,yj) 将一个小格子划分为四个区域观察规律可得
{
x
j
=
⌊
a
j
+
0.5
⌋
y
j
=
⌊
b
j
+
0.5
⌋
\begin{cases} x_j = \lfloor a_j+0.5 \rfloor \\ y_j = \lfloor b_j+0.5 \rfloor \end{cases}
{xj=⌊aj+0.5⌋yj=⌊bj+0.5⌋
将这个式子带入我们的模型中可得
{
a
n
s
=
max
∑
i
∈
N
1
≤
i
≤
n
f
i
max
(
∣
a
i
+
x
−
⌊
a
i
+
x
+
0.5
⌋
∣
,
∣
b
i
+
y
−
⌊
b
i
+
y
+
0.5
⌋
∣
)
f
i
≤
ϵ
\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ \max{(|a_i+x-\lfloor a_i+x+0.5 \rfloor|,|b_i + y-\lfloor b_i+y+0.5 \rfloor|)f_i}\le \epsilon \end{cases}
{ans=max∑i∈N1≤i≤nfimax(∣ai+x−⌊ai+x+0.5⌋∣,∣bi+y−⌊bi+y+0.5⌋∣)fi≤ϵ
给出12口井的坐标，
ϵ
=
0.05
\epsilon = 0.05
ϵ=0.05 , 按照问题一的要求求解
按照问题一给的模型，进行调整
{
a
n
s
=
max
∑
i
∈
N
1
≤
i
≤
n
f
i
max
(
∣
x
i
+
x
−
⌊
x
i
+
x
+
0.5
⌋
∣
,
∣
y
i
+
y
−
⌊
y
i
+
y
+
0.5
⌋
∣
)
f
i
≤
0.05
\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ \max{(|x_i+x-\lfloor x_i+x+0.5 \rfloor|,|y_i + y-\lfloor y_i+y+0.5 \rfloor|)f_i}\le 0.05 \end{cases}
{ans=max∑i∈N1≤i≤nfimax(∣xi+x−⌊xi+x+0.5⌋∣,∣yi+y−⌊yi+y+0.5⌋∣)fi≤0.05
LINGO求解
sets:
aa/1..12/:a,b,f;
endsets
data:
a=0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
b=2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata
max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@smax(@abs(a(i)+x1-@floor(a(i)+x1+0.5)),@abs(b(i)+y1-@floor(b(i)+y1+0.5)))*f(i)<=0.05);
x1<1;
y1<1;
or
{
a
n
s
=
max
∑
i
∈
N
1
≤
i
≤
n
f
i
∣
x
i
+
x
−
⌊
x
i
+
x
+
0.5
⌋
∣
f
i
≤
0.05
∣
y
i
+
y
−
⌊
y
i
+
y
+
0.5
⌋
∣
f
i
≤
0.05
\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ |x_i+x-\lfloor x_i+x+0.5 \rfloor|f_i\le 0.05\\|y_i + y-\lfloor y_i+y+0.5 \rfloor|f_i\le 0.05 \end{cases}
⎩
⎨
⎧ans=max∑i∈N1≤i≤nfi∣xi+x−⌊xi+x+0.5⌋∣fi≤0.05∣yi+y−⌊yi+y+0.5⌋∣fi≤0.05
sets:
aa/1..12/:a,b,f;
endsets
data:
a=0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
b=2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata
max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@abs(a(i)+x1-@floor(a(i)+x1+0.5))*f(i)<=0.05);
@for(aa(i):@abs(b(i)+y1-@floor(b(i)+y1+0.5))*f(i)<=0.05);
x1<1;
y1<1;
答案如下
Objective value: 4.000000
Objective bound: 4.000000
F( 1) 0.000000 -1.000000
F( 2) 1.000000 0.000000
F( 3) 0.000000 -1.000000
F( 4) 1.000000 -1.000000
F( 5) 1.000000 0.000000
F( 6) 0.000000 -1.000000
F( 7) 0.000000 -1.000000
F( 8) 0.000000 -1.000000
F( 9) 0.000000 -1.000000
F( 10) 1.000000 0.000000
F( 11) 0.000000 -1.000000
F( 12) 0.000000 -1.000000
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