目录
一、模糊系统的大致分类
二、TS模糊系统模型的具体分类
（1）T-S模糊模型
（2）T-S多项式模糊模型
（3）2型T-S模糊模型
（4）2型T-S多项式模糊模型
三、个人总结（简单理解他们的区别）
一、模糊系统的大致分类
Mamdani模糊系统：Mamdani模糊系统是最早提出的一种模糊推理系统，它使用模糊规则来进行逻辑推理和决策。它的输出结果是一个模糊集合，通过对规则的模糊集合进行合取运算得到最终结果。
Sugeno模糊系统：Sugeno模糊系统采用线性输出函数代替了Mamdani系统中的模糊输出结果。它的模糊规则具有"If-Then"形式，条件部分进行匹配，而结论部分是一个线性函数。
Tsukamoto模糊系统：Tsukamoto模糊系统是一种基于隶属度最大值法则的模糊推理系统。它的输出结果是通过加权平均来计算的，其中权重由规则中的置信度和隶属度大小共同决定。
Larsen模糊系统：Larsen模糊系统是另一种常见的模糊推理系统，它使用了乘法规则进行推理。它的输出结果是通过对规则的结论部分进行加权乘积运算得到的。
TS模糊系统：模糊规则由若干个模糊集合的前提条件和一个线性输出函数组成。每条规则的前提条件表示为一组模糊集合，并与一个线性函数关联，该函数将输入变量映射到一个实数值。前提条件确定了每个规则的隶属度，而线性函数决定了规则的输出形式。TS模糊系统的输出函数形式通常为一个线性组合函数，其中每个规则的输出通过乘以其前提条件的隶属度进行加权求和。
TSK模糊系统：TSK（Takagi-Sugeno-Kang）模糊系统是一种基于Sugeno模型的扩展，它的模糊规则可以同时包含模糊集和线性函数。TSK模糊系统可以更灵活地进行建模和控制。
这些模糊系统类型在实际应用中具有不同的特点和适用范围，根据具体的问题和需求，选择合适的模糊系统类型可以提高系统的性能和效果。
二、TS模糊系统模型的具体分类
上面的模型我们不做过多的解释，下面对T-S模糊模型进行详细分析，T-S模糊模型分为四种，分别是T-S模糊模型、T-S多项式模糊模型、2型T-S模糊模型、2型T-S多项式模糊模型。
如果看不懂建议直接看最后的个人总结，比较通俗易懂！
（1）T-S模糊模型
T-S模糊模型提供了一种系统有效的方法，用一些模糊规则对非线性模型进行建模。每条规则的前项都以系统状态作为前提变量。隶属函数的类型为1，并将操作域划分为多个操作子域。由此得到一个以线性状态空间方程为特征的线性子系统。每个线性子系统对系统建模的贡献由相应规则的发射强度决定。在数学上，TS模糊模型的输出函数形式通常为一个线性组合函数，其中每个规则的输出通过乘以其前提条件的隶属度进行加权求和。具体而言，TS模糊系统的输出可以表示为：
y = w1 * x1 + w2 * x2 + ... + wn * xn + b
其中，y是模糊输出值，w1、w2、...、wn是对应每个输入变量的权重，x1、x2、...、xn是输入变量的模糊输入值，b是偏移参数。
个人理解：
1型TS模糊模型
模糊规则：通常采用"If-Then"的形式，其中"If"部分是输入变量的模糊集合，"Then"部分是输出变量的线性函数。模糊规则由若干个模糊集合的前提条件和一个线性输出函数组成。每条规则的前提条件表示为一组模糊集合，并与一个线性函数关联，该函数将输入变量映射到一个实数值。前提条件确定了每个规则的隶属度，而线性函数决定了规则的输出形式。
推理：1型TS模糊模型首先根据输入变量的模糊值，确定各个模糊规则的激活程度。然后，通过线性组合的方式将这些激活的模糊规则的输出组合成一个整体的模糊输出。
去模糊化：将模糊输出转化为具体的实数值或实际操作的输出。
TS模糊系统相比于Mamdani模糊系统，在表示能力和灵活性方面更加强大。它可以在每个规则的输出部分使用不同的函数形式，例如线性函数、常数函数或二次函数等，从而能够更好地逼近实际问题的非线性关系。
（2）T-S多项式模糊模型
T-S模糊模型被认为是一个局部非线性模型。当系统在考虑的运行域内运行时，与T-S模糊模型相关的分析结果是有效的。局部这个缺点可以通过用多项式子系统代替规则的结果中的线性子系统来缓解。所得到的模糊模型被称为1型T-S多项式模糊模型。
1型TS多项式模糊模型与1型TS模糊模型类似，也是通过一系列模糊规则将模糊输入值映射到模糊输出值。然而，不同之处在于，1型TS多项式模糊模型中，每条模糊规则的输出部分不再是线性函数，而是一个多项式函数。
1型TS多项式模糊模型中的每个模糊规则的输出部分可以表示为如下形式的多项式：
y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + β11x1^2 + β22x2^2 + ... + βnnxn^2 + ...
其中，βi是与xi相关的一次项系数，βii是与xi相关的二次项系数，以此类推。
在推理过程中，1型TS多项式模糊模型首先根据输入变量的模糊值，确定各个模糊规则的激活程度。然后，通过多项式函数的方式将这些激活的模糊规则的输出组合成一个整体的模糊输出。
与1型TS模糊模型相比，1型TS多项式模糊模型能够更好地处理非线性问题。它可以适用于更广泛的系统建模和控制问题，并提供了更精细的输出模糊关系描述，提高了模型对系统的描述准确度和预测能力。
但是，需要注意的是，1型TS多项式模糊模型所引入的高维度、高次数的多项式函数可能会增加模型的复杂度，导致模型在计算和应用方面存在一定难度。
（3）2型T-S模糊模型
上述的T-S模糊模型和多项式模糊模型在规则的前项都是1型模糊集、1型隶属函数，在捕捉不确定性方面表现不佳，比如输入变量的不确定性或参数的不确定性，这限制了它与2型模糊集相比的系统建模能力。因此，1型模糊模型通常会将不确定性纳入到子系统中，否则，隶属度等级的值就会变得不确定，从而导致分析结果保守。
理论上，一个2型FLS可以看作是无数个1型FLS的集合。当1型模糊模型具有具有不确定性的隶属函数时，通过考虑不确定性的每一个固定值(在有界域内)，就等价于存在无限个隶属函数导致无限个1型模糊模型。因此，理想的情况是，使用有限条规则，使用2型模糊模型来表示具有不确定性的非线性模型。所以我们引出2型T-S模糊模型。
2型TS模糊模型引入了2型隶属度函数，其形式为一个带有置信度函数的隶属度函数。2型隶属度函数可以描述输入变量和输出的模糊隶属度的不确定性，以及隶属度函数在不同输入值上的变化情况。
在2型TS模糊模型中，模糊规则的前提条件和输出部分仍然由模糊集合和线性函数组成。但不同之处在于，用的是2型隶属度函数，用于描述输入变量和输出的不确定性程度。置信度函数是一个隶属度函数的集合，它表示了隶属度函数在各自的定义域上的不确定程度。
通过引入2型隶属度函数，2型TS模糊模型能够处理输入变量和输出的不确定性，并对其进行建模和推理。在实际应用中，2型TS模糊模型常用于处理存在较多噪声、不确定性和模糊性的问题，它能够更准确地表达和处理不确定性信息，提高模型的鲁棒性和可靠性。
（4）2型T-S多项式模糊模型
与1型TS多项式模糊模型相同，2型多项式也是通过用多项式子系统代替2型TS模糊模型规则的结果中的线性子系统来缓解。
具体而言，2型TS多项式模糊模型中的每条模糊规则的输出部分被表示为用2型隶属度函数的多项式函数。假设输入变量为x1、x2、...、xn，每个模糊规则的输出可以表示为如下形式的多项式：
y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + β11x1^2 + β22x2^2 + ... + βnnxn^2 + ...
其中，βi是与xi相关的一次项系数，βii是与xi相关的二次项系数，以此类推。
在2型TS多项式模糊模型中，每个模糊规则的输出部分还伴随着一个置信度函数，用于描述这个模糊规则的输出的不确定性程度。置信度函数是一个隶属度函数的集合，反映了输出模糊值在其定义区域上的不确定性程度。
2型TS多项式模糊模型能够更好地处理不确定性较高的问题，并提供了一种范围来表示输出的模糊性和不确定性。
三、个人总结（简单理解他们的区别）
我们必须先知道一点：模糊模型是为了处理非线性问题的（也就是将非线性转化为线性组合式或者多项式再去处理，换个方式理解，遇到个很复杂的问题，想解决就要建立数学模型啊， 但是问题太复杂，写不出来式子，于是我们用TS模糊模型，将问题模糊成一个大概的函数，这个模型只能拟合成线性函数的组合，用这个模糊出来的函数来代替原问题进行分析，这样就好算多了，但是有人觉得这样的拟合差太多了，也就是跟原问题出入比较大，所以又发明了多项式模糊模型，这样模糊后的式子就跟加贴合原问题了。）
上面我巴拉巴拉的说了一堆，其实总结而言就是：TS模糊模型就是多项式模糊模型的一种特殊情况，他将输入中的多项式变成了常数项。仔细看看下面两个式子就知道谁更加拟合原问题了。
TS模糊模型的输出函数是一个线性组合函数，其中每个规则的输出通过乘以其前提条件的隶属度进行加权求和，可以表示为：
其中，y是模糊输出值，w1、w2、...、wn是对应每个输入变量的权重，x1、x2、...、xn是输入变量的模糊输入值，b是偏移参数。
TS多项式模糊模型输出部分可以表示为：
y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + β11x1^2 + β22x2^2 + ... + βnnxn^2 + ...
其中，βi是与xi相关的一次项系数，βii是与xi相关的二次项系数，以此类推。
（其实就是改成了多项式，两者区别看公式就够了，多项式的模型肯定更容易去处理非线性问题啦！）
而2型TS模糊模型引入了2型隶属度函数，能更准确的去模拟实际情况，而且更为合理，所以我们后续主要讨论2型多项式模糊模型，毕竟这个模型能更好的处理问题。
下面附一个图吧，懒得看文字的就看图
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