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语法
说明
示例
计算几个点处的多项式值
对四次多项式求积分
具有误差估计值的线性回归
使用中心化和缩放改善数值属性
polyval函数的功能是多项式计算。
语法
y = polyval(p,x)
[y,delta] = polyval(p,x,S)
y = polyval(p,x,[],mu)
[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)
说明
y = polyval(p,x) 计算多项式 p 在 x 的每个点处的值。参数 p 是长度为 n+1 的向量，其元素是 n 次多项式的系数（降幂排序）：
虽然可以为不同目的使用 polyint、polyder 和 polyfit 等函数计算 p 中的多项式系数，但也可以为系数指定任何向量。要以矩阵方式计算多项式，请改用 polyvalm。
[y,delta] = polyval(p,x,S) 使用 polyfit 生成的可选输出结构体 S 来生成误差估计值。delta 是使用 p(x) 预测 x 处的未来观测值时的标准误差估计值。
y = polyval(p,x,[],mu) 或 [y,delta] = polyval(p,x,S,mu) 使用 polyfit 生成的可选输出 mu 来中心化和缩放数据。mu(1) 为 mean(x)，mu(2) 为 std(x)。使用这些值时，polyval 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差
这种中心化和缩放变换可改善多项式的数值属性。
示例
计算几个点处的多项式值
计算多项式 p(x)=3x^2+2x+1在点 x=5,7,9 处的值。多项式系数可以由向量[3 2 1] 表示。
p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)
y = 1×3
86 162 262
对四次多项式求积分
计算定积分
创建一个向量来表示多项式被积函数 项不存在，因此系数为 0。
p = [3 0 -4 10 -25];
使用 polyint 和等于 0 的积分常量来对多项式求积分。
q = polyint(p)
q = 1×6
0.6000 0 -1.3333 5.0000 -25.0000 0
通过在积分范围上计算 q，求解积分的值。
a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))
I = 49.0667
具有误差估计值的线性回归
将一个线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，其中包含预测区间为 95% 的估计值。
创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。使用 polyfit 对数据进行一次多项式拟合。指定两个输出以返回线性拟合的系数以及误差估计结构体。
x = 1:100;
y = -0.3*x + 2*randn(1,100);
[p,S] = polyfit(x,y,1);
计算以 p 为系数的一次多项式在 x 中各点处的拟合值。将误差估计结构体指定为第三个输入，以便 polyval 计算标准误差的估计值。标准误差估计值在 delta 中返回。
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
绘制原始数据、线性拟合和 95% 预测区间 y±2Δ。
plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')
如图所示：
使用中心化和缩放改善数值属性
创建一个由 1750 - 2000 年的人口数据组成的表，并绘制数据点。
year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)
T=11×2 table
year pop
____ _________
1750 7.91e+08
1775 8.56e+08
1800 9.78e+08
1825 1.05e+09
1850 1.262e+09
1875 1.544e+09
1900 1.65e+09
1925 2.532e+09
1950 6.122e+09
1975 8.17e+09
2000 1.156e+10
plot(year,pop,'o')
如图所示：
使用带三个输入的 polyfit 拟合一个使用中心化和缩放的 5 次多项式，这将改善问题的数值属性。polyfit 将 year 中的数据以 0 为进行中心化，并缩放为具有标准差 1，这可避免在拟合计算中出现病态的范德蒙矩阵。
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
使用带四个输入的 polyval，根据缩放后的年份 (year-mu(1))/mu(2) 计算 p。绘制结果对原始年份的图。
f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off
如图所示：
参数说明
p — 多项式系数
多项式系数，指定为向量。例如，向量 [1 0 1] 表示多项式，向量 [3.13 -2.21 5.99] 表示多项式。
x — 查询点
查询点，指定为向量。polyval 计算多项式 p 在 x 中的点处的值，并在 y 中返回对应的函数值。
S — 误差估计结构体
误差估计结构体。此结构体是 [p,S] = polyfit(x,y,n) 的可选输出，可用于获取误差估计值。S 包含以下字段：
字段描述R范德蒙矩阵 x 的 QR 分解的三角因子df自由度normr残差的范数
如果 y 中的数据是随机的，则 p 的估计协方差矩阵是 (Rinv*Rinv')*normr^2/df，其中 Rinv 是 R 的逆矩阵。
mu — 中心化值和缩放值
中心化和缩放值，指定为二元素向量。此向量是 [p,S,mu] = polyfit(x,y,n) 的可选输出，用于改善拟合和计算多项式 p 的数值属性。值 mu(1) 为 mean(x)，mu(2) 为 std(x)。这些值用于以单位标准差将 x 中的查询点的中心置于零值处。
指定 mu 以计算 p 在缩放点 (x - mu(1))/mu(2) 处的值。
y — 函数值
函数值，以大小与查询点 x 相同的向量形式返回。向量包含在 x 中的每个点处计算多项式 p 所得的结果。
delta — 预测的标准误差
预测的标准误差，以大小与查询点 x 相同的向量形式返回。通常，区间 y ± Δ 对应于大型样本的未来观测值约 68% 的预测区间，y ± 2Δ 对应于约 95% 的预测区间。
如果 p 中的系数是 polyfit 计算的最小二乘估计值，polyfit 数据输入中的误差呈独立正态分布，并拥有常量方差，则 y ± Δ 对应于至少 50% 的预测区间。
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