【动态规划】

一、 背包问题1. 背包问题总结1)动规四部曲:2) 递推公式总结:3) 遍历顺序总结:

2. 01背包1) 二维dp数组代码实现

2) 一维dp数组代码实现

3. 完全背包代码实现

4. 多重背包代码实现

一、 背包问题

1. 背包问题总结

暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化! 背包问题是动态规划(Dynamic Planning) 里的非常重要的一部分,关于几种常见的背包,其关系如下: 在解决背包问题的时候,我们通常都是按照如下五部来逐步分析,把这五部都搞透了,算是对动规来理解深入了。

1)动规四部曲:

(1) 确定dp数组及其下标的含义 (2) 确定递推公式 (3) dp数组的初始化 (4) 确定遍历顺序

2) 递推公式总结:

1. 问能否能装满背包(或者最多装多少):

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

2. 问装满背包有几种方法:

dp[j] += dp[j - nums[i]]

3. 问背包装满最大价值:

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

4. 问装满背包所有物品的最小个数:

dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)

3) 遍历顺序总结:

二维dp数组01背包,先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历一维dp数组01背包,只能先遍历物品再遍历背包容量,且第二层for循环是从大到小遍历。求组合数:外层遍历物品,内层遍历背包 求排列数:外层遍历背包,内层遍历物品 求最小数:两层for循环的先后顺序无所谓

2. 01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

1) 二维dp数组

对于背包问题,有一种写法是使用二维数组。

动规四部曲: 1) 确定dp数组及其下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为 [0 - i] 的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。 2) 确定递推公式

不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以被背包内的价值依然和前面相同。)放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值所以递归公式:

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3)dp数组的初始化 * 首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0 * 状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来,那么i为0的时候就一定要初始化。 * dp[0][j]:存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大重量j。 那么很明显当 j < weight[0]时,dp[0][j] 应该是 0(背包容量比编号0的物品重量还小) 同理,当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0](背包容量足够放编号0物品)

4) 确定遍历顺序

遍历顺序总结: * 二维dp数组01背包,先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历 * 一维dp数组01背包,只能先遍历物品再遍历背包容量,且第二层for循环是从大到小遍历。

代码实现

python(二维dp数组)

bag_size = 4

weight = [1, 3, 4]

value = [15, 20, 30]

rows, cols = len(weight), bag_size + 1

dp = [[0]*cols for _ in range(rows)]

# 初始化dp数组.

for i in range(rows):

dp[i][0] = 0

first_item_weight, first_item_value = weight[0], value[0]

for j in range(1, cols):

if first_item_weight <= j:

dp[0][j] = first_item_value

# 更新dp数组: 先遍历物品, 再遍历背包.

for i in range(1, rows):

for j in range(1, cols):

if weight[i] > j: # 说明背包装不下当前物品.

dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 所以不装当前物品.

else:

# 定义dp数组: dp[i][j] 前i个物品里,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

print(dp)

2) 一维dp数组

在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) 其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

动规四部曲

确定dp数组及其下标的含义 在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。确定递推公式 dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。 dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i 重量的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即:dp[j]) 此时dp[j]有两个选择:1)取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i;2)取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的 所以递推公式: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);dp数组的初始化 dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。其他的也初始化为0,这样在递归的时候,才会被覆盖成较大的值。确定遍历顺序

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

}

}

从大大小遍历的原因: 倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

代码实现

python (一维dp数组)

weight = [1, 3, 4]

value = [15, 20, 30]

bag_weight = 4

# 初始化: 全为0

dp = [0] * (bag_weight + 1)

# 先遍历物品, 再遍历背包容量

for i in range(len(weight)):

for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):

# 递归公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

print(dp)

3. 完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i]。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。 完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件。

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。 而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:

01背包

// 01背包 先遍历物品,再遍历背包

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

}

}

完全背包

// 1. 先遍历物品,再遍历背包

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

}

}

// 2. 先遍历背包,再遍历物品

for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

// 容量 > 物品重量, 则更新dp数组

if (j >= weight[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

}

}

遍历顺序总结:

纯完全背包的一维dp数组实现,先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历。求组合数:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包求排列数:外层for遍历背包,内层for循环遍历物品求最小数:两层for循环的先后顺序无所谓

代码实现

python

// 1.先遍历物品,再遍历背包

def test_complete_pack1():

weight = [1, 3, 4]

value = [15, 20, 30]

bag_weight = 4

dp = [0]*(bag_weight + 1)

for i in range(len(weight)):

for j in range(weight[i], bag_weight + 1):

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

print(dp[bag_weight])

// 2. 先遍历背包,再遍历物品

def test_complete_pack2():

weight = [1, 3, 4]

value = [15, 20, 30]

bag_weight = 4

dp = [0]*(bag_weight + 1)

for j in range(bag_weight + 1):

for i in range(len(weight)):

if j >= weight[i]: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

print(dp[bag_weight])

if __name__ == '__main__':

test_complete_pack1()

test_complete_pack2()

4. 多重背包

多重背包和01背包是非常像的, 为什么和01背包像呢? 每件物品最多有Mi件可用,把Mi件摊开,其实就是一个01背包问题了。

举个例子: 背包最大重量为10,物品为: 请问背包能背的物品最大价值为多少? 和如下情况有区别么? 几乎没有区别。每个物品只用一次,这就转成了一个01背包问题了。

代码实现

两种解决方案如下:(python版本)

# 版本一: 将物品全摊开,转化为 01背包问题

weight = [1, 3, 4]

value = [15, 20, 30]

nums = [2, 3, 2]

bag_weight = 10

# 将物品全部展开,数量全为1

for i in range(len(nums)):

if nums[i] > 1:

weight.append(weight[i])

value.append(value[i])

nums[i] -= 1

# 动态规划五部曲:

dp = [0]*(bag_weight+1)

# 遍历物品

for i in range(len(weight)):

# 遍历背包

for j in range(bag_weight, weight[i] -1, -1):

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

print("".join(map(str,dp)))

# 版本二: 直接加上个数维度

weight = [1, 3, 4]

value = [15, 20, 30]

nums = [2, 3, 2]

bag_weight = 10

dp = [0] * (len(bag_weight) + 1)

for i in range(len(weight)): # 物品的重量

for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1): # 背包的重量

# 以上是 01背包

for k in range(1, nums[i]+1):

if j >= k*weight[i]:

dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*weight[i]] + k*value[i])

print("".join(max(str, dp)))

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