目录

前言:

题目与求解

11.请将“田忌赛马”的博弈过程用策略式(博弈矩阵)和扩展式(博弈树)分别进行表示,并用文字分别详细表述。

34.两个朋友在一起划拳喝酒,每个人有4个纯策略:杠子、老虎、鸡和虫子。 输赢规则是:杠子降老虎,老虎降鸡,鸡降虫子,虫子降杠子。两个人同时出令,如果一方打败另一方,赢者的得益为1,输者的得益为-1,否则得益为0. 请给出以上博弈的策略式描述并求出所有的纳什均衡。

42.乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然,甲不一定会相信乙的威胁。 请用扩展式表示该博弈,并找出其子博弈完美纳什均衡。

前言:

本篇博客解决一些博弈论题目,题号已标清。

题目来自河北大学王亮老师的网址:Software Security Lab, Hebei University (hbusoftsec.org.cn)

题目与求解

题号:11  分值:20分

11.请将“田忌赛马”的博弈过程用策略式(博弈矩阵)和扩展式(博弈树)分别进行表示,并用文字分别详细表述。

假设田忌和齐王赛马,每人有上、中、下三个等级的马各一匹,上等马优于中等马,中等马优于下等马,同一等级的马中齐王的马优于田忌的马。比赛共进行三局,每匹马只能参加一局比赛,每局的胜者得1分,负者得-1分,比赛结果为三局得分之和。

玩家N=2: 田忌  齐王

策略集: {上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上}

(1)策略式博弈矩阵为:

博弈矩阵中的每组数表示:左边的是田忌的得益,右边的是齐王的得益。

(2)扩展式(博弈树)为:

动态博弈的结果包括双方采用的策略组合、实现的博弈路径和各博弈方的得益。

这是一棵很大的树,为了可以看清楚每个分支,我拆分为三个部分展示:齐王先手-上,齐王先手-中,齐王先手-下。

最后合并为一整棵树:

题号:34   分值:15分

34.两个朋友在一起划拳喝酒,每个人有4个纯策略:杠子、老虎、鸡和虫子。 输赢规则是:杠子降老虎,老虎降鸡,鸡降虫子,虫子降杠子。两个人同时出令,如果一方打败另一方,赢者的得益为1,输者的得益为-1,否则得益为0. 请给出以上博弈的策略式描述并求出所有的纳什均衡。

如同石头剪刀布博弈一样,此博弈不存在纯策略纳什均衡,因为这4个纯策略都互相克制。存在混合策略纳什均衡。

设A=杠子,B=老虎 C=鸡 D=虫子

运用“让对手猜不透原则”

设玩家1选择出A,B,C,D的概率分别为q1,q2,q3,1-q1-q2-q3  

设玩家2选择出A,B,C,D的概率分别为p1,p2,p3,1-p1-p2-p3   

对于玩家1:

对于玩家2:

得到:

        

  即: 

设,又因,可得混合策略:

所以,只要,就都是符合要求的纳什均衡。

如,当时,混合策略纳什均衡为。

题号:42  分值:15分

42.乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然,甲不一定会相信乙的威胁。 请用扩展式表示该博弈,并找出其子博弈完美纳什均衡。

这是一个完全但不完美博弈,甲并不清楚乙会不会选择威胁,故需要引入“自然”,使得乙威胁或不威胁的概率分别为50%.

设甲原本的得益为1000,乙原本的得益为0。前件为乙的得益,后件为甲的得益。

必要信息描述:

若甲不给乙,且乙的威胁是真的,甲、乙都将损失1000(因为乙不但没有得到钱,还使用了威胁的手段,损害了甲)。此时双方得益为(-1000,-1000)。

若甲给乙,乙的威胁是真的。乙提前做好了威胁甲的准备,付出了用于威胁甲的成本,成本为-200元。此时双方得益为(800,0)。

扩展式博弈(博弈树)如下:

由逆向归纳法可以得到子博弈完美纳什均衡解:乙在威胁的情况下,甲选择给钱,此时双方的得益为(800,0);乙在不威胁的情况下,甲不给钱,此时双方得益为(0,1000)。

最终图解:

本博客所借鉴的优秀内容链接如下,在此鸣谢:

博弈论笔记(一):策略式博弈及其纳什均衡 - 知乎 (zhihu.com)

博弈 习题-田忌赛马问题_田忌赛马博弈矩阵-CSDN博客

精彩文章

评论可见,请评论后查看内容,谢谢!!!
 您阅读本篇文章共花了: