写在前面： 博主本人大学期间参加数学建模竞赛十多余次，获奖等级均在二等奖以上。为了让更多学生在数学建模这条路上少走弯路，故将数学建模常用数学模型算法汇聚于此专栏，希望能够对要参加数学建模比赛的同学们有所帮助。
目录
1. 引言2. 模型建立3. 模型求解
1. 引言
关于数据包络分析法的CCR模型已经在上文中进行了介绍，CCR模型是规模收益不变(CRS)假设下的径向EDA模型，即模型中的
λ
\lambda
λ满足
λ
⩾
0
\lambda \geqslant 0
λ⩾0，具体的模型原理可参阅链接: 数据包络分析——CCR模型。 但是在实际生产过程中，生产技术的规模收益并非CRS，若采用CRS假设，得出的技术效率并非完全是纯技术效率，而是包含了规模效率成分的综合效率。 一般来说，生产技术的规模收益要先后经历规模收益递增（IRS）、规模收益不变（CRS）、规模收益递减（DRS）三个阶段。如果无法确定研究样本处于哪个阶段，那么评价技术效率是应该选择可变规模收益（VRS）模型，即模型中的
λ
\lambda
λ满足
∑
λ
=
1
\sum \lambda=1
∑λ=1。此时VRS模型得出的技术效率就是纯技术效率。
2. 模型建立
BCC模型即规模收益可变(VRS)假设下的径向DEA模型。它与CCR模型的区别就是增加了等式约束
∑
λ
=
1
\sum \lambda=1
∑λ=1。 投入导向的BCC对偶模型：
min
θ
\min \theta
minθ
s
.
t
.
{
∑
i
=
1
n
λ
i
x
i
j
⩽
θ
x
i
j
∑
i
=
1
n
λ
i
y
i
r
⩾
y
k
r
∑
i
=
1
n
λ
i
=
1
λ
i
⩾
0
,
j
=
1
,
⋯
,
m
;
r
=
1
,
⋯
,
3
q
s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant \theta x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant y_{k r} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{array}\right.
s.t.⎩
⎨
⎧∑i=1nλixij⩽θxij∑i=1nλiyir⩾ykr∑i=1nλi=1λi⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,3q 其中，
k
=
1
,
⋯
,
n
k=1, \cdots, n
k=1,⋯,n。 产出导向的BCC对偶模型：
max
ϕ
\max \phi
maxϕ
s
.
t
.
{
∑
i
=
1
n
λ
i
x
i
j
⩽
x
i
j
∑
i
=
1
n
λ
i
y
i
r
⩾
ϕ
y
k
r
∑
i
=
1
n
λ
i
=
1
λ
i
⩾
0
,
j
=
1
,
⋯
,
m
;
r
=
1
,
⋯
,
3
q
s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant \phi y_{k r} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{array}\right.
s.t.⎩
⎨
⎧∑i=1nλixij⩽xij∑i=1nλiyir⩾ϕykr∑i=1nλi=1λi⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,3q 其中，
k
=
1
,
⋯
,
n
k=1, \cdots, n
k=1,⋯,n。
3. 模型求解
还是以下面这个问题为例： 某市教委需要对六所重点中学进行评价，其相应的指标如表所示。表中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标，生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标，评价哪些学校是相对有效的。 根据上述建立的模型，编写投入导向的BCC模型的MATLAB程序如下:
%投入导向BCC
w=[];
for i=1:n
f=[zeros(1,n) 1];
A=[X -X(:,i); -Y zeros(q,1)];
b=[zeros(1,m) -Y(:,i)']';
Aeq=[ones(1,n) 0];
beq=1;
LB=[zeros(n+1,1)];
UB=[];
w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
BCC_IN=w(n+1,:)'
得到的结果为：1，0.9804，1，0.9395，1，1 产出导向的BCC模型的MATLAB程序如下:
%产出导向BCC
w=[];
for i=1:n
f=[zeros(1,n) -1];
A=[X zeros(m,1); -Y Y(:,i)];
b=[X(:,i)' zeros(1,q)]';
Aeq=[ones(1,n) 0];
beq=1;
LB=[zeros(n+1,1)];
UB=[];
w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
BCC_OUT=1./w(n+1,:)'
得到的结果为：1，0.9948，1，0.9466，1，1
观察投入导向的BCC模型和产出导向的BCC模型结果可以发现，学校A、C、E、F这几个学校的投入产出是比较有效的。
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