动态规划5.0
动态规划 - - - 子序列问题（数组中不连续的一段）1. 最长递增子序列2. 摆动序列3. 最长递增子序列的个数4. 最长数对链5. 最长定差子序列6. 最长的斐波那契子序列的长度7. 最长等差数列8. 等差数列划分Ⅱ - 子序列
动态规划 - - - 子序列问题（数组中不连续的一段）
1. 最长递增子序列
题目链接 -> Leetcode -300.最长递增子序列
Leetcode -300.最长递增子序列
题目：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。 例如，[3, 6, 2, 7] 是数组[0, 3, 1, 6, 2, 2, 7] 的子序列。
示例 1： 输入：nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 输出：4 解释：最长递增子序列是[2, 3, 7, 101]，因此长度为 4 。
示例 2： 输入：nums = [0, 1, 0, 3, 2, 3] 输出：4
示例 3： 输入：nums = [7, 7, 7, 7, 7, 7, 7] 输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 250010^4 <= nums[i] <= 10^4
思路：
dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的「所有子序列」中，最长递增子序列的长度；状态转移方程：对于 dp[i] ，我们可以根据「子序列的构成方式」，进行分类讨论：
子序列长度为 1 ：只能自己了，此时 dp[i] = 1 ；子序列长度大于 1 ： nums[i] 可以跟在前面任何⼀个数后面形成子序列。设前面的某一个数的下标为 j ，其中 0 <= j <= i - 1 。只要 nums[j] < nums[i] ， i 位置元素跟在 j 元素后面就可以形成递增序列，长度为 dp[j] + 1 ；
因此，我们仅需找到满足要求的最大的 dp[j] + 1 即可；
综上， dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]) ，其中 0 <= j <= i - 1 && nums[j] < nums[i]；
返回值：由于不知道最长递增子序列以谁结尾，因此返回 dp 表里面的「最大值」；
代码如下：
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector
{
// 动态规划
// dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的「所有子序列」中，最长递增子序列的长度
vector
int ret = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--)
{
for (int j = i + 1; j < nums.size(); j++)
{
if (nums[j] > nums[i])
{
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
}
}
ret = max(dp[i], ret);
}
return ret;
}
};
2. 摆动序列
题目链接 -> Leetcode -376.摆动序列
Leetcode -376.摆动序列
题目：如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。 例如，[1, 7, 4, 9, 2, 5] 是一个 摆动序列 ，因为差值(6, -3, 5, -7, 3) 是正负交替出现的。
相反，[1, 4, 7, 2, 5] 和[1, 7, 4, 5, 5] 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。 子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。
给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。
示例 1： 输入：nums = [1, 7, 4, 9, 2, 5] 输出：6 解释：整个序列均为摆动序列，各元素之间的差值为(6, -3, 5, -7, 3) 。
示例 2： 输入：nums = [1, 17, 5, 10, 13, 15, 10, 5, 16, 8] 输出：7 解释：这个序列包含几个长度为 7 摆动序列。 其中一个是[1, 17, 10, 13, 10, 16, 8] ，各元素之间的差值为(16, -7, 3, -3, 6, -8) 。
示例 3： 输入：nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] 输出：2
提示：
1 <= nums.length <= 10000 <= nums[i] <= 1000
思路：
状态表示：这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：dp[i] 表示「以 i 位置为结尾的最长摆动序列的长度」。 但是，问题来了，如果状态表示这样定义的话，以 i 位置为结尾的最长摆动序列的长度我们没法从之前的状态推导出来。因为我们不知道前一个最长摆动序列的结尾处是递增的，还是递减的。因此，我们需要状态表示能表示多一点的信息：要能让我们知道这一个最长摆动序列的结尾是递增的还是递减的。
所以我们应该定义两个 dp 表：
f[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的所有的子序列中，最后一个位置呈现「上升趋势」的最长摆动序列的长度；g[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的所有的子序列中，最后一个位置呈现「下降趋势」的最长摆动序列的长度；
状态转移方程：由于子序列的构成比较特殊， i 位置为结尾的子序列，前一个位置可以是 [0, i - 1] 的任意位置，因此设 j 为 [0, i - 1] 区间内的某一个位置。
对于 f[i] ，我们可以根据「子序列的构成方式」，进行分类讨论： i. 子序列长度为 1 ：只能自己了，此时 f[i] = 1；这种情况不需要处理，我们在初始化的时候将 dp 表初始化为 1 即可 ； ii. 子序列长度大于 1 ：因为结尾要呈现上升趋势，因此需要 nums[j] < nums[i] 。在满足这个条件下， j 结尾需要呈现下降状态，最长的摆动序列就是 g[j] + 1 。因此我们要找出所有满足条件下的最大的 g[j] + 1 。
综上，因为题目需要返回的是最长子序列的长度所以 f[i] 的状态转移方程为 f[i] = max(g[j] + 1, f[i]) ，注意使用 g[j] 时需要判断；
对于 g[i] ，我们可以根据「子序列的构成方式」，进行分类讨论： i. 子序列长度为 1 ：只能自己了，此时 g[i] = 1 ；这种情况不需要处理，我们在初始化的时候将 dp 表初始化为 1 即可 ； ii. 子序列长度大于 1 ：因为结尾要呈现下降趋势，因此需要 nums[j] > nums[i] 。在满足这个条件下， j 结尾需要呈现上升状态，因此最长的摆动序列就是 f[j] + 1 。因此我们要找出所有满足条件下的最大的 f[j] + 1 。
综上， g[i] = max(f[j] + 1, g[i]) ，注意使用 f[j] 时需要判断；
返回值：应该返回「两个 dp 表里面的最大值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最大值」；
代码如下：
class Solution {
public:
int wiggleMaxLength(vector
{
int n = nums.size();
// f 表存最后呈现“上升”趋势的最长摆动子序列的长度
// g 表存最后呈现“下降”趋势的最长摆动子序列的长度
vector
int ans = 1;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
{
// 如果是上升趋势，f[i] 就是 g 表中的最长摆动子序列的长度 + 1，因为 g 表是呈下降趋势的；下同
if(nums[i] > nums[j]) f[i] = max(g[j] + 1, f[i]);
else if(nums[i] < nums[j]) g[i] = max(f[j] + 1, g[i]);
}
ans = max(g[i], max(f[i], ans));
}
return ans;
}
};
3. 最长递增子序列的个数
题目链接 -> Leetcode -673.最长递增子序列的个数
Leetcode -673.最长递增子序列的个数
题目：给定一个未排序的整数数组 nums ， 返回最长递增子序列的个数 。
注意 这个数列必须是 严格 递增的。
示例 1: 输入: [1, 3, 5, 4, 7] 输出 : 2 解释 : 有两个最长递增子序列，分别是[1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。
示例 2 : 输入 : [2, 2, 2, 2, 2] 输出 : 5 解释 : 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。
提示 :
1 <= nums.length <= 2000-10^6 <= nums[i] <= 10^6
思路：
状态表示：先尝试定义一个状态：以 i 为结尾的最长递增子序列的「个数」。那么问题就来了，我们都不知道以 i 为结尾的最长递增子序列的「长度」是多少，我怎么知道最长递增子序列的个数呢？
因此，我们解决这个问题需要两个状态，一个是「长度」，一个是「个数」：
len[i] 表示：以 i 为结尾的最长递增子序列的长度；count[i] 表示：以 i 为结尾的最长递增子序列的个数；
状态转移方程：求个数之前，我们得先知道长度，因此先看 len[i] ：
在求 i 结尾的最长递增序列的长度时，我们已经知道 [0, i - 1] 区间上的 len[j] 信息，用 j 表示 [0, i - 1] 区间上的下标；我们需要的是递增序列，因此 [0, i - 1] 区间上的 nums[j] 只要能和 nums[i] 构成上升序列，那么就可以更新 dp[i] 的值，此时最长长度为 dp[j] + 1 ；我们要的是 [0, i - 1] 区间上所有情况下的最大值。
综上所述，对于 len[i] ，我们可以得到状态转移方程为：
len[i] = max(len[j] + 1, len[i]) ，其中 0 <= j < i ，并且 nums[j] < nums[i]；
在知道每一个位置结尾的最长递增子序列的长度时，我们来看看能否得到 count[i] ：
我们此时已经知道 len[i] 的信息，还知道 [0, i - 1] 区间上的 count[j] 信息，用 j 表示 [0, i - 1] 区间上的下标；我们可以再遍历⼀遍 [0, i - 1] 区间上的所有元素，只要能够构成上升序列，并且上升序列的长度等于 dp[i] ，那么我们就把 count[i] 加上 count[j] 的值。这样循环一遍之后，count[i] 存的就是我们想要的值。
综上所述，对于 count[i] ，我们可以得到状态转移方程为：
count[i] += count[j] ，其中 0 <= j < i ，并且 nums[j] < nums[i] && dp[j] + 1 == dp[i] ；
返回值：用 retlen 表示最终的最长递增子序列的长度。根据题目要求，我们应该返回所有长度等于 retlen 的子序列的个数；
代码如下：
class Solution {
public:
int findNumberOfLIS(vector
{
int n = nums.size();
// len[i] 表示以 i 位置结尾的最长递增子序列的长度
// count[i] 表示以 i 位置结尾的最长递增子序列的个数
vector
int retlen = 1, retcount = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
{
if (nums[i] > nums[j])
{
// 贪心
if (len[j] + 1 > len[i])
{
len[i] = len[j] + 1;
count[i] = count[j];
}
else if (len[j] + 1 == len[i])
{
count[i] += count[j];
}
}
}
// 贪心
if (retlen == len[i])
{
retcount += count[i];
}
else if (len[i] > retlen)
{
retlen = len[i];
retcount = count[i];
}
}
return retcount;
}
};
4. 最长数对链
题目链接 -> Leetcode -646.最长数对链
Leetcode -646.最长数对链
题目：给你一个由 n 个数对组成的数对数组 pairs ，其中 pairs[i] = [lefti, righti] 且 lefti < righti 。 现在，我们定义一种 跟随 关系，当且仅当 b < c 时，数对 p2 = [c, d] 才可以跟在 p1 = [a, b] 后面。我们用这种形式来构造 数对链 。 找出并返回能够形成的 最长数对链的长度 。 你不需要用到所有的数对，你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。
示例 1： 输入：pairs = [[1, 2], [2, 3], [3, 4]] 输出：2 解释：最长的数对链是[1, 2] ->[3, 4] 。
示例 2： 输入：pairs = [[1, 2], [7, 8], [4, 5]] 输出：3 解释：最长的数对链是[1, 2] ->[4, 5] ->[7, 8] 。
提示：
n == pairs.length1 <= n <= 1000-1000 <= lefti < righti <= 1000
思路：本题思路与第一题 最长递增子序列 的思路类似，我们只需要将数对按照第一个元素排一下序即可处理；
代码如下：
class Solution {
public:
int findLongestChain(vector
{
sort(pairs.begin(), pairs.end()); // 对第一个元素排序
int n = pairs.size();
vector
int ans = 1;
// dp[i] 表⽰以 i 位置的数对为结尾时，最⻓数对链的⻓度
for(int i = 1; i < n; i++)
{
for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
{
if(pairs[i][0] > pairs[j][1]) dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
}
ans = max(dp[i], ans);
}
return ans;
}
};
5. 最长定差子序列
题目链接 -> Leetcode -1218.最长定差子序列
Leetcode -1218.最长定差子序列
题目：给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。
子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列。
示例 1： 输入：arr = [1, 2, 3, 4], difference = 1 输出：4 解释：最长的等差子序列是[1, 2, 3, 4]。
示例 2： 输入：arr = [1, 3, 5, 7], difference = 1 输出：1 解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
示例 3： 输入：arr = [1, 5, 7, 8, 5, 3, 4, 2, 1], difference = -2 输出：4 解释：最长的等差子序列是[7, 5, 3, 1]。
提示：
1 <= arr.length <= 10^5-10^4 <= arr[i], difference <= 10^4
思路：
状态表示：
dp[i] 表示：以 i 位置的元素为结尾所有的子序列中，最长的等差子序列的长度。
状态转移方程：对于 dp[i] ，上一个定差子序列的取值定为 arr[i] - difference 。只要找到以上一个数字为结尾的定差子序列长度的 dp[arr[i] - difference] ，然后加上 1 ，就是以 i 为结尾的定差子序列的长度。
因此，这里可以选择使用哈希表做优化。我们可以把「元素， dp[j] 」绑定，放进哈希表中。甚至不用创建 dp 数组，直接在哈希表中做动态规划。
返回值：根据「状态表示」，返回整个 dp 表中的最大值；
代码如下：
class Solution {
public:
int longestSubsequence(vector
{
// dp[i] 表示：以 i 位置的元素为结尾所有的⼦序列中，最长的等差子序列的长度
unordered_map
hash[arr[0]] = 1;
int n = arr.size();
int ans = 1;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
hash[arr[i]] = hash[arr[i] - difference] + 1;
ans = max(hash[arr[i]], ans);
}
return ans;
}
};
6. 最长的斐波那契子序列的长度
题目链接 -> Leetcode -873.最长的斐波那契子序列的长度
Leetcode -873.最长的斐波那契子序列的长度
题目：如果序列 X_1, X_2, …, X_n 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：
n >= 3对于所有 i + 2 <= n，都有 X_i + X_{ i + 1 } = X_{ i + 2 }
给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr ，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 0 。 （回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如，[3, 5, 8] 是[3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）
示例 1： 输入 : arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 输出 : 5 解释 : 最长的斐波那契式子序列为[1, 2, 3, 5, 8] 。
示例 2： 输入 : arr = [1, 3, 7, 11, 12, 14, 18] 输出 : 3 解释 : 最长的斐波那契式子序列有[1, 11, 12]、[3, 11, 14] 以及[7, 11, 18] 。
提示：
3 <= arr.length <= 10001 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9
思路：
状态表示：这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的「所有子序列」中，最长的斐波那契子数列的长度。
但是这里有一个非常致命的问题，那就是我们无法确定 i 结尾的斐波那契序列的样子。这样就会导致我们无法推导状态转移方程，因此我们定义的状态表示需要能够确定一个斐波那契序列。
根据斐波那契数列的特性，我们仅需知道序列里面的最后两个元素，就可以确定这个序列的样子。因此，我们修改我们的状态表示为：
dp[i][j] 表示：以 i 位置以及 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，最长的斐波那契子序列的长度。规定： i < j.
状态转移方程：设 nums[i] = b, nums[j] = c ，那么这个序列的前一个元素就是 a = c - b 。我们根据 a 的情况讨论：
a 存在，下标为 k ，并且 a < b ：此时我们需要以 k 位置以及 i 位置元素为结尾的最长斐波那契子序列的长度，然后再加上 j 位置的元素即可。于是 dp[i][j] = dp[k][i] + 1 ；a 存在，但是 b < a < c ：此时只能两个元素自己了， dp[i][j] = 2 ；a 不存在：此时依旧只能两个元素自己了， dp[i][j] = 2 ；
综上，状态转移方程分情况讨论即可。
优化点：我们发现，在状态转移方程中，我们需要确定 a 元素的下标。因此我们可以在 dp 之前，将所有的「元素 + 下标」绑定在一起，放到哈希表中。
返回值：因为不知道最终结果以谁为结尾，因此返回 dp 表中的最大值 ret ；但是 ret 可能小于 3 ，小于 3 的话说明不存在；因此需要判断一下。
代码如下：
class Solution {
public:
int lenLongestFibSubseq(vector
{
int n = arr.size();
unordered_map
for (int i = 0; i < n; i++) hash[arr[i]] = i;
vector
int ans = 2;
// dp[j][i] 表示以 j 和 i 位置的元素为结尾的所有子序列中，最长的斐波那契子序列的长度
for (int i = 2; i < n; i++) // 固定 i 在后
{
for (int j = i - 1; j >= 1; j--) //固定 j 在前
{
int tp = arr[i] - arr[j];
if (tp < arr[j] && hash.count(tp)) dp[j][i] = dp[hash[tp]][j] + 1;
ans = max(dp[j][i], ans);
}
hash[arr[i]] = i;
}
return ans < 3 ? 0 : ans;
}
};
7. 最长等差数列
题目链接 -> Leetcode -1027.最长等差数列
Leetcode -1027.最长等差数列
题目：给你一个整数数组 nums，返回 nums 中最长等差子序列的长度。
回想一下，nums 的子序列是一个列表 nums[i1], nums[i2], …, nums[ik] ，且 0 <= i1 < i2 < … < ik <= nums.length - 1。 并且如果 seq[i + 1] - seq[i](0 <= i < seq.length - 1) 的值都相同，那么序列 seq 是等差的。
示例 1： 输入：nums = [3, 6, 9, 12] 输出：4 解释： 整个数组是公差为 3 的等差数列。
示例 2： 输入：nums = [9, 4, 7, 2, 10] 输出：3 解释： 最长的等差子序列是[4, 7, 10]。
示例 3： 输入：nums = [20, 1, 15, 3, 10, 5, 8] 输出：4 解释： 最长的等差子序列是[20, 15, 10, 5]。
提示：
2 <= nums.length <= 10000 <= nums[i] <= 500
思路：本题思路与上题思路类似，只是在推前一个元素的方法不一样，其中本题：设 nums[i] = b, nums[j] = c ，那么这个序列的前一个元素就是 a = 2 * b - c ；接下来我们和上题根据 a 的情况讨论，这里就不再做讨论。
代码如下：
class Solution {
public:
int longestArithSeqLength(vector
{
int n = nums.size();
unordered_map
//for(int i = 0; i < n; i++) hash[nums[i]] = i;
hash[nums[0]] = 0;
int ans = 2;
vector
// dp[i][j] 表示：以 i 位置以及 j 位置的元素为结尾的所有的⼦序列中，最长的等差序列的⻓度。规定 i < j
for(int i = 1; i < n; i++) // 固定倒数第二个数
{
for(int j = i + 1; j < n; j++) // 固定倒数第一个数
{
// 求出以 i 和 j 位置结尾的子序列中，以它们为等差数列的前一个数
int tp = 2 * nums[i] - nums[j];
if(hash.count(tp))
{
dp[i][j] = dp[hash[tp]][i] + 1;
}
ans = max(ans, dp[i][j]);
}
// 一边做 dp 一边更新hash数组；以便多个 tp 元素重复时，hash[tp]找到的是离 i 最近的下标
hash[nums[i]] = i;
}
return ans;
}
};
8. 等差数列划分Ⅱ - 子序列
题目链接 -> 等差数列划分Ⅱ - 子序列
Leetcode -446.等差数列划分Ⅱ - 子序列
题目：给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。
如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。
例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和[3, -1, -5, -9] 都是等差序列。 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。 数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。
例如，[2, 5, 10] 是[1, 2, 1, 2, 4, 1, 5, 10] 的一个子序列。 题目数据保证答案是一个 32 - bit 整数。
示例 1： 输入：nums = [2, 4, 6, 8, 10] 输出：7 解释：所有的等差子序列为： [2, 4, 6] [4, 6, 8] [6, 8, 10] [2, 4, 6, 8] [4, 6, 8, 10] [2, 4, 6, 8, 10] [2, 6, 10]
示例 2： 输入：nums = [7, 7, 7, 7, 7] 输出：16 解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。
提示：
1 <= nums.length <= 1000-2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1
思路：
本题与最长等差数列的区别是，最长等差数列求的是最长等差数列的长度，本题求的是等差数列的数目；所以思路我们也是类似的：
状态表示：dp[i][j] 表示：以 i 位置以及 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，等差子序列的个数。规定⼀下 i < j. 状态转移方程：设 nums[i] = b, nums[j] = c ，那么这个序列的前一个元素就是 a = 2 * b - c 。我们根据 a 的情况讨论：
a 存在，下标为 k ，并且 a < b ：此时我们知道以 k 元素以及 i 元素结尾的等差序列的个数 dp[k][i] ，在这些子序列的后面加上 j 位置的元素依旧是等差序列。但是这里会多出来一个以 k, i, j 位置的元素组成的新的等差序列，因此 dp[i][j] = dp[k][i] + 1 ；因为 a 可能有很多个，我们需要全部累加起来。
综上， dp[i][j] += dp[k][i] + 1.
返回值：我们要统计所有的等差子序列，因此返回 dp 表中所有元素的和。
代码如下：
class Solution {
public:
int numberOfArithmeticSlices(vector
{
int n = nums.size();
// 将数组的元素和下标数组绑定在一起放入哈希表中，因为相同的元素会有不同的下标
unordered_map
for(int i = 0; i < n; i++) hash[nums[i]].push_back(i);
vector
int count = 0;
for(int i = 1; i < n; i++) // 枚举倒数第二个数
{
for(int j = i + 1; j < n; j++) // 枚举倒数第一个数
{
long long tp = (long long)2 * nums[i] - nums[j];
if(hash.count(tp))
{
// 遍历 tp 元素的下标数组，tp 的下标需要小于 i
for(auto& k : hash[tp])
{
// 需要 += ，是因为要确定以 i、j 为结尾的元素前面的等差数列个数，就要用以 k、i 为结尾的元素前面的等差数列个数再加上1；因为以 k、i 为结尾的元素前面的等差数列再加上 j 的元素，也能构成数量相同的等差数列个数，而且多了 k、i、j 这一组等差数列，所以要多加1
if(k < i) dp[i][j] += dp[k][i] + 1;
}
}
count += dp[i][j];
}
}
return count;
}
};
推荐文章
您阅读本篇文章共花了：
发表评论