蓝桥杯 （3.4 每日一题 – 差分）
链接: DP
一、模板题
1. 差分
题目要求 输入一个长度为 n的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式 第一行包含两个整数 n 和 m。 第二行包含 n个整数，表示整数序列。 接下来 m行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式 共一行，包含 n个整数，表示最终序列。
数据范围 1≤n,m≤100000, 1≤l≤r≤n, −1000≤c≤1000, −1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
解题思路：连续对一段区间执行相同操作，考虑差分 差分：把数组拆成差分数组，再在差分数组l处加减一个数，在r + 1处减一个数，最后求前缀和就是原数组。
代码
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int a[N], b[N];
void insert(int l, int r, int x)
{
b[l] += x;
b[r + 1] -= x;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
b[i] = a[i] - a[i - 1];
}
while(m--)
{
int l, r, x;
cin >> l >> r >> x;
insert(l, r, x);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
b[i] = b[i] + b[i - 1];
a[i] = b[i];
cout << a[i] << " ";
}
puts("");
return 0;
}
2. 差分矩阵
题目要求 输入一个 n行 m列的整数矩阵，再输入 q个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式 第一行包含整数 n,m,q。 接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。 接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式 共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围 1≤n,m≤1000, 1≤q≤100000, 1≤x1≤x2≤n, 1≤y1≤y2≤m, −1000≤c≤1000, −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
解题思路：差分矩阵和上面类似
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
代码
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
cin >> a[i][j];
insert(i, j, i, j, a[i][j]);
}
while(q--)
{
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
b[i][j] = b[i][j] + b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
a[i][j] = b[i][j];
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
二、应用题
1. 空调
Farmer John 的 N头奶牛对他们牛棚的室温非常挑剔。
有些奶牛喜欢温度低一些，而有些奶牛则喜欢温度高一些。
Farmer John 的牛棚包含一排 N个牛栏，编号为 1…N，每个牛栏里有一头牛。
第 i头奶牛希望她的牛栏中的温度是 pi，而现在她的牛栏中的温度是 ti。
为了确保每头奶牛都感到舒适，Farmer John 安装了一个新的空调系统。
该系统进行控制的方式非常有趣，他可以向系统发送命令，告诉它将一组连续的牛栏内的温度升高或降低 1个单位——例如「将牛栏 5…8的温度升高 1个单位」。
一组连续的牛栏最短可以仅包含一个牛栏。
请帮助 Farmer John 求出他需要向新的空调系统发送的命令的最小数量，使得每头奶牛的牛栏都处于其中的奶牛的理想温度。
输入格式 输入的第一行包含 N。
下一行包含 N个非负整数 p1…pN，用空格分隔。
最后一行包含 N 个非负整数 t1…tN。
输出格式 输出一个整数，为 Farmer John 需要使用的最小指令数量。
数据范围 1≤N≤105, 0≤pi,ti≤10000
输入样例：
5
1 5 3 3 4
1 2 2 2 1
输出样例：
5
样例解释 一组最优的 Farmer John 可以使用的指令如下：
初始温度 ：1 2 2 2 1
升高牛棚 2..5：1 3 3 3 2
升高牛棚 2..5：1 4 4 4 3
升高牛棚 2..5：1 5 5 5 4
降低牛棚 3..4：1 5 4 4 4
降低牛棚 3..4：1 5 3 3 4
解题思路：看到连续调整数组 – 差分，一次只能升一度，从左向右依次遍历。 让c数组减a数组，然后让差分数组b全为零。 做不出来的地方：如何判断改变区间的结束位置。 学到了：
b[i](i为1到n+1)之和为0，正数和和负数和相等。多了个n+1项任选一个正数-1和一个负数+1差分数组就是把原数组的区间操作，变成了两点的操作
代码
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], b[N], c[N];
int main()
{
int res;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cin >> c[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
a[i] = a[i] - c[i];
}
for(int i = 1; i <= n + 1; i++)
b[i] = a[i] - a[i - 1];
for(int i = 1; i <= n + 1; i++)
{
if(b[i] > 0)
res += b[i];
}
cout << res << endl;
return 0;
}
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