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引言一、AVL树的概念二、AVL树的模拟实现2.1 结点2.2 成员变量2.3 插入2.4 旋转2.4.1 左单旋2.4.2 右单旋2.4.3 左右旋2.4.4 右左旋
三、AVL树的验证四、AVL树的性能4.1 优势4.2 缺陷4.3 适用场景
引言
之前讲解了二叉搜索树，最优情况下它具有非常好的搜索性能，但是在极端场景下，它可能退化为单支树，可以形象地称为歪脖子树~
这样的话，它搜索的时间复杂度会从O(log2N)退化为O(N2)，完全丧失了其优良的搜索性能。那么AVL树就可以登场了，它就是为解决这类问题而生的！
一、AVL树的概念
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL树，AVL树满足两条性质：
它的左右子树都是AVL树任意结点的左右子树高度差的绝对值不超过1
这样通过控制子树高度差，让AVL树几乎完美接近于平衡，便不会出现单支树的情况，保证了优良的搜索性能，因此AVL树又称为高度平衡二叉搜索树。
二、AVL树的模拟实现
2.1 结点
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode
AVLTreeNode
AVLTreeNode
pair
int _bf;//balance factor
AVLTreeNode(const pair
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _bf(0)
{}
};
细节：
使用三叉链，增加了指向parent的指针使用KV模型，数据存储键值对pair结点存储平衡因子，用来记录左右子树高度差
注：平衡因子计算高度差，是 右子树高度 - 左子树高度
2.2 成员变量
template
class AVLTree
{
protected:
typedef AVLTreeNode
public:
protected:
Node* _root = nullptr;
};
2.3 插入
因为AVL树也是二叉搜索树，所以默认成员函数和遍历与之前写的没什么不同，这里重点讲解AVL树的插入。
bool Insert(const pair
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent)//讨论平衡因子
{
if (cur == parent->_right)
{
++parent->_bf;
}
else
{
--parent->_bf;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
else if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
思路：
以二叉搜索树的方式正常插入讨论平衡因子，以及调整结构
这里的重点在于如何讨论和调整平衡因子(bf)。
首先，插入cur结点，调整parent结点的bf，左减右加讨论parent的bf
bf为0bf为1或-1bf为2或-2
bf为0时： 分析：此时没有增加高度，而是补上缺口，整棵树是平衡的，直接break即可
bf为1或-1时： 分析：此时增加了局部子树的高度，不确定有没有影响整体的高度差，所以要继续向上调整
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
bf为2或-2时：
此时bf已经超出平衡限制区间，需要进行结构调整，我们称之为旋转。
2.4 旋转
旋转分为两大类：单旋和双旋。而单旋分为左单旋和右单旋，双旋分为左右旋和右左旋。
2.4.1 左单旋
场景：右部外侧插入
过程：
parent接过subR的左子树subRLsubR左边再链接parent
void RotateL(Node* parent)//左单旋
{
Node* grandparent = parent->_parent;
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (grandparent)
{
if (grandparent->_right == parent)
{
grandparent->_right = subR;
}
else
{
grandparent->_left = subR;
}
}
else
{
_root = subR;
}
subR->_parent = grandparent;
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
细节：
大体是三步链接，注意双向链接注意判空（subRL，grandparent）如果判空，注意_root的传递最后调整平衡因子_bf
2.4.2 右单旋
场景：左部外侧插入
过程：
parent接过subL的右子树subLRsubL右边再链接parent
void RotateR(Node* parent)//右单旋
{
Node* grandparent = parent->_parent;
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (grandparent)
{
if (grandparent->_right == parent)
{
grandparent->_right = subL;
}
else
{
grandparent->_left = subL;
}
}
else
{
_root = subL;
}
subL->_parent = grandparent;
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
细节：同左单旋
2.4.3 左右旋
场景：左部内侧插入
过程：
先对subL进行左单旋再对parent进行右单旋
void RotateLR(Node* parent)//左右旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
细节：
这里旋转直接复用前面单旋的代码主要的重点，在于平衡因子bf的讨论
bf为1，在subLR的右侧插入bf为-1，在subLR的左侧插入bf为0，插入subLR（之前为空）
2.4.4 右左旋
场景：右部内侧插入
过程：
先对subR进行右单旋再对parent进行左单旋
void RotateRL(Node* parent)//右左旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
细节：同左右旋
综上所述，旋转的目的：保证平衡，同时降低树的高度。
三、AVL树的验证
我们主要验证左右子树高度是否平衡，即高度差是否小于等于1
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftH = Height(root->_left);
int rightH = Height(root->_right);
return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftH = Height(root->_left);
int rightH = Height(root->_right);
if (rightH - leftH != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightH - leftH) <= 1
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
细节：
为了方便计算高度，写一个Height函数在子函数递归中，计算高度差是否小于等于1与此同时，还要检查平衡因子是否正常
四、AVL树的性能
4.1 优势
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即
l
o
g
2
(
N
)
log_2 (N)
log2(N)。
4.2 缺陷
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
4.3 适用场景
因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
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