算法 c++ 力扣 滑动窗口 子序列 【动态规划】【同余前缀和】【多重背包】2902. 和带限制的子多重集合的数目

本文涉及知识点

动态规划汇总 C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频 C++算法：滑动窗口总结 多重背包

LeetCode2902. 和带限制的子多重集合的数目

给你一个下标从 0 开始的非负整数数组 nums 和两个整数 l 和 r 。 请你返回 nums 中子多重集合的和在闭区间 [l, r] 之间的 子多重集合的数目 。 由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。 子多重集合 指的是从数组中选出一些元素构成的 无序 集合，每个元素 x 出现的次数可以是 0, 1, …, occ[x] 次，其中 occ[x] 是元素 x 在数组中的出现次数。 注意： 如果两个子多重集合中的元素排序后一模一样，那么它们两个是相同的 子多重集合 。 空 集合的和是 0 。 示例 1： 输入：nums = [1,2,2,3], l = 6, r = 6 输出：1 解释：唯一和为 6 的子集合是 {1, 2, 3} 。 示例 2： 输入：nums = [2,1,4,2,7], l = 1, r = 5 输出：7 解释：和在闭区间 [1, 5] 之间的子多重集合为 {1} ，{2} ，{4} ，{2, 2} ，{1, 2} ，{1, 4} 和 {1, 2, 2} 。 示例 3： 输入：nums = [1,2,1,3,5,2], l = 3, r = 5 输出：9 解释：和在闭区间 [3, 5] 之间的子多重集合为 {3} ，{5} ，{1, 2} ，{1, 3} ，{2, 2} ，{2, 3} ，{1, 1, 2} ，{1, 1, 3} 和 {1, 2, 2} 。 提示： 1 <= nums.length <= 2 * 104 0 <= nums[i] <= 2 * 104 nums 的和不超过 2 * 104 。 0 <= l <= r <= 2 * 104

动态规划

vCnt[i]记录i在nums中出现的次数，vCnt[i]不为0的数目不超过200个。 子多重集合 就是子序列。 i为0要特殊处理，否则会死循环。

动态规划的状态表示

dp[i][j] 表示 ，从[0,i]中选取若干个数和为j的可能数。状态数：O(200r)。 注意用滚动向量vPre、dp实现。 由于unorder_map 大约是O(10)，所以有超时的风险。直接vector> 空间复杂度是:O(nr)，空间会超。

利用前缀和优化转移方程

计算后置状态： dp[j] =

∑

x

:

0

v

C

n

t

[

i

]

v

P

r

e

[

j

−

x

×

i

]

s

.

t

j

−

x

×

i

>

=

0

\Large\sum_{x:0}^{vCnt[i]}vPre[j-x\times i] \quad s.t \quad j-x \times i>=0

∑x:0vCnt[i]​vPre[j−x×i]s.tj−x×i>=0 显然，可以用前缀和优化。 转移方程的时间复杂度为:O(1)，总时间复杂度为O(200r)。

动态规划的填表顺序

i从大到小。从小到大似乎也没问题。

动态规划的初始值

vPre[0]=1

动态规划的范围值

∑

x

:

l

r

v

P

r

e

[

x

]

\Large \sum _{x:l}^r vPre[x]

∑x:lr​vPre[x]

代码

核心代码

template

class C1097Int

{

public:

C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)

{

}

C1097Int operator+(const C1097Int& o)const

{

return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);

}

C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)

{

m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)

{

m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

C1097Int operator-(const C1097Int& o)

{

return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);

}

C1097Int operator*(const C1097Int& o)const

{

return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;

}

C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)

{

m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

bool operator<(const C1097Int& o)const

{

return m_iData < o.m_iData;

}

C1097Int pow(long long n)const

{

C1097Int iRet = 1, iCur = *this;

while (n)

{

if (n & 1)

{

iRet *= iCur;

}

iCur *= iCur;

n >>= 1;

}

return iRet;

}

C1097Int PowNegative1()const

{

return pow(MOD - 2);

}

int ToInt()const

{

return m_iData;

}

private:

int m_iData = 0;;

};

class Solution {

public:

int countSubMultisets(vector& nums, int left, int r) {

const int iMax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());

vector vCnt(1 + iMax);

for (const auto& n : nums)

{

vCnt[n]++;

}

vector> vPre(r + 1);

vPre[0] = 1;

for (int i = iMax; i >= 0; i--)

{

if (0 == vCnt[i])

{

continue;

}

vector> dp(r + 1);

if (0 == i)

{

for (int k = 0; k <= r; k++)

{

dp[k] = vPre[k] * (1 + vCnt[i]);

}

}

else

{

for (int m = 0; m < i; m++)

{

C1097Int<> iiSum = 0;

for (int k = m; k <= r; k += i)

{

iiSum += vPre[k];

const int delIndex = k - (vCnt[i] + 1) * i;

if (delIndex >= 0)

{

iiSum -= vPre[delIndex];

}

dp[k] = iiSum;

}

}

}

vPre.swap(dp);

}

C1097Int<> biRet = std::accumulate ( vPre.begin() + left, vPre.begin() + r + 1, C1097Int<>());

return biRet.ToInt();

}

};

测试用例

emplate

void Assert(const T& t1, const T2& t2)

{

assert(t1 == t2);

}

template

void Assert(const vector& v1, const vector& v2)

{

if (v1.size() != v2.size())

{

assert(false);

return;

}

for (int i = 0; i < v1.size(); i++)

{

Assert(v1[i], v2[i]);

}

}

int main()

{

vector nums;

int l, r;

{

Solution sln;

nums = { 1, 2, 2, 3 }, l = 6, r = 6;

auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);

Assert(1, res);

}

{

Solution sln;

nums = { 2, 1, 4, 2, 7 }, l = 1, r = 5;

auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);

Assert(7, res);

}

{

Solution sln;

nums = { 1, 2, 1, 3, 5, 2 }, l = 3, r = 5;

auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);

Assert(9, res);

}

}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。 https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程 https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17 或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17 如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

好文阅读

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