2023.06.05 最近在研究OTFS考虑分数多普勒时信道估计与信号检测相关问题，最近精读了一篇论文，并针对论文中部分公式进行推导，故记录一下学习过程。
【OTFS与信号处理：论文阅读1】Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler
前言一、摘要及背景摘要分数多普勒的引入估计分数多普勒的意义研究现状
二、系统模型三、论文算法概述导频设计算法细节A. 单一路径下的精确估计（相当于给定时延）B. 多路径下的精确估计
四、仿真结果五、总结参考文献
前言
论文题目： Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler 论文地址： https://ieeexplore.ieee.org/document/10118609/ 论文来源：2023 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC) 论文主要研究了OTFS考虑分数多普勒的信道估计问题，分别考虑单径和多径两种情况，引入线性系统去恢复不同可分解路径的多普勒频移以及信道增益。
一、摘要及背景
摘要
论文提出了一个考虑分数多普勒的有效的信道估计算法。该算法首先设置了一个基于现有阈值的估计器以获得有效的（初步）信道响应。由于有效的信道矩阵已知（可能翻译的不准确），然后使用线性系统去恢复不同可分解路径的多普勒频移以及信道增益。在这一过程中，考虑了不同路径间的干扰。仿真表明，通过在有效信道矩阵中选择最优采样值，可以在低信噪比条件下实现多普勒频移和信道增益的鲁棒估计。
分数多普勒的引入
准确的信道估计对于获取用于可靠检测的信道状态信息 (CSI) 至关重要。 在OTFS中，信道信息即时延偏移和多普勒偏移在 DD 网格上是离散的。 时延分辨率和多普勒分辨率分别取决于带宽和持续时间。 实际通信场景中，带宽足够大以提供足够的时延分辨率，而由于未来通信中的低时延要求，持续时间可能相对较小。（此时解释了为什么不会特别考虑分数时延的问题） 因此，需要考虑分数多普勒。 在整数多普勒的情况下，DD域的有效通道是稀疏的。 相反，对于分数多普勒情况，有效DD主信道分布在所有多普勒指数上，这牺牲了有效信道的稀疏性，因此可能会降低信道估计性能 。 针对这一挑战，为分数多普勒情况开发一种有效的信道估计算法至关重要。 （该图来源：《Delay Communications Principles and Applications》p91 figure 4.16） （此内容为个人理解，若有不对的地方欢迎指正）仔细看这张图，其实蕴含了很多信息： 1）从图1可以看出，主径为2，若不存在分数多普勒，在其他抽样点处的幅值均为0，说明主径周围符号是没有干扰的，也就是不存在IDI。 2）从图1移步到图2，当存在kappa=0.5（此时为最坏的情况）的多普勒频移后，主径2处的幅值开始降低且无法达到最大幅值，而由于我们能取到的多普勒值都是整数，因此我们无法取到最大幅值的情况，也就是说，在IDI的影响下，能量泄露是一定存在的。 3）依然停留在图2，此时在2周围其他整数抽样点的幅值无法取到0，也就是说主径2会对周围其他符号产生干扰，我们认为这一干扰是由于IDI所致。
估计分数多普勒的意义
i）使我们能够通过使用估计的多普勒频移，重建有效的DD域信道来改进信道估计，这对于可靠检测是必不可少。 ii）提高了定位的精度：当OTFS辅助传感时，因为可以通过多普勒频移的准确估计来获得移动用户速度的准确估计。
研究现状
目前已有许多信道估计方面的论文（[5]-[10]）针对分数多普勒场景下做出研究。论文[5]提出了一种嵌入式导频设计，并引入一个简单的基于门限的估计器用来恢复DD域有效信道，该论文的缺点在于该方法并未提供多普勒频移和信道增益（文献[5]得到的
h
~
[
[
k
−
k
p
]
N
,
[
l
−
l
p
]
]
\tilde{h}[[k-k_p]_N,[l-l_p]]
h~[[k−kp]N,[l−lp]]是多个信道复增益的叠加）方面的估计。论文[6]提出一个三维正交匹配追踪算法结构，以实现三维稀疏性结构在时延-多普勒-角度域信道的有效估计。论文[7]提出了一个改进的导频图案，在导频和符号间不再需要保护间隔，此外引入系数贝叶斯（后文简称为SBL）算法解决稀疏信号恢复的问题。 论文[11]通过引入块重组，提出块SBL算法。实现该论文的基础上进行改进。论文[7][11]由于使用SBL算法复杂度较高，特别不适用于OTFS帧较大的场景。论文[12]研究了多导频方案也将信道估计问题建模为稀疏信号恢复问题进行求解，引入基于因子图表示的消息传递算法直接实现信道增益以及多普勒频移的估计。论文[9]提出无格点的信道估计方案实现原始DD域的估计而非有效DD域估计（原始和有效DD域估计的区别是：一个是实际信道，另一个是理论信道；原始的DD领域信道响应是稀疏的，由于不可避免的信道展宽，有效的DD领域信道可能不再稀疏。），该方法将信道估计问题建模为1D和2D无格点稀疏恢复问题（此处也不太理解从信道估计到稀疏信号恢复问题间的转换关系？），并引入SBL算法来解决以上问题（1D和2D无格点稀疏恢复问题）。
本节参考文献 [5] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in delay-doppler channels,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906-4917, 2019. [6] W. Shen, L. Dai, J. An, P. Fan, and R. W. Heath, “Channel estimation for orthogonal time frequency space (OTFS) massive MIMO,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 67, no. 16, pp. 4204-4217, 2019. [7] L. Zhao, W. Gao, and W. Guo, “Sparse bayesian learning of delay- doppler channel for OTFS system,” IEEE Communications Letters, vol. 24, no. 12, pp. 2766-2769, 2020. [8] W. Yuan, S. Li, Z. Wei, J. Yuan, and D. W. K. Ng, “Data-aided channel estimation for OTFS systems with a superimposed pilot and data transmission scheme,” IEEE Wireless Communications Letters, vol. 10, no. 9, pp. 1954-1958, 2021. [9] Z. Wei, W. Yuan, S. Li, J. Yuan, and D. W. K. Ng, “Off-grid channel estimation with sparse bayesian learning for OTFS systems,” IEEE Transactions on Wireless Communications, pp. 1-1, 2022. [10] Z. Li, W. Yuan, and L. Zhou, “UAMP-based channel estimation for OTFS in the presence of the fractional doppler with HMM prior,” in 2022 IEEE/CIC International Conference on Communications in China (ICCC Workshops), 2022, 304-308. [11] L. Zhao, J. Yang, Y. Liu, and W. Guo, “Block sparse bayesian learning- based channel estimation for mimo-OTFS systems,” IEEE Communica- tions Letters, vol. 26, no. 4, pp. 892-896, 2022. [12] F. Liu, Z. Yuan, Q. Guo, Z. Wang, and P. Sun, “Message passing-based structured sparse signal recovery for estimation of OTFS channels with fractional doppler shifts,” IEEE Transactions on Wireless Communica- tions, vol. 20, no. 12, pp. 7773-7785, 2021.
二、系统模型
OTFS在DD域的输入输出关系可以表述为： 其中，x和y分别表示在DD域上的发送和接收符号，hw表示有效DD域信道（hw可以理解成是信道响应的循环卷积，详细公式推导可参考文献[5]），其中，采样后信道的响应可以表示为： 考虑分数多普勒后，时延和多普勒为τi和vi分别表示为：
κ
\kappa
κvi∈[-1/2,1/2]为分数多普勒。 因此，整数时延和分数多普勒信道可以表示为(hω为整数时延分数多普勒下的有效信道响应，个人觉得此处公式有误，自作主张地作了修改)： 从式5可以看出，DD 域中的有效信道响应是 P 条路径响应的叠加。
若只考虑一条路径，可以将上式简化为： 补充公式(6)的推导过程（特别注意这里原文中的公式存在笔误）： 整数多普勒时（即
κ
\kappa
κvi=0），可以将式(6)简化为（简单理解成sinc函数为冲激函数的具体实现）： 分数多普勒时（即
κ
\kappa
κvi≠0），可以将DD域信道响应的幅度为（注意此处只考虑幅度，含e项的相移就忽略掉了）；由于多普勒偏移的存在，此时不能再用冲激函数来近似： 从上式可以看出，分数多普勒降低了信道估计的性能，增加了符号检测的复杂度。 接下来浅浅写了个代码来说明分数多普勒的问题：
%% 本代码用于分析比较整数和分数多普勒下信道响应的不同
% 公式来源《Efficient Channel Estimation for OTFS Systems in the Presence of Fractional Doppler》式7与式8
% 式7（整数多普勒）：h_w[k,l_"\tau"i]=h_i*dirac(k-k_vi)*exp(-j*2pi*Q),Q=(k_vi*l_taoi)/M*N
% 式8（分数多普勒）：h_w[k,l_"\tau"i]=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi-fra_i))./sin(pi*(k-k_vi-fra_i)/N))
clc
clear
N = 20;% N决定周期，因此N与k的长度对应
M = 20;
k_vi = 5;
fra_i = 0.2;
h_i = 1;
k = 0:0.1:20;
l_taoi = 1;
h_w_fra = zeros(1,length(k));
Q = (k_vi*l_taoi)/M*N;
h_w_integer = h_i*dirac(k-k_vi)*exp((-1i)*2*pi*Q);
% h_w_fractional =(h_i/N)*abs(sin(pi*fra_i)./sin(pi*(-k+k_vi+fra_i)/N)); 用式8的第二个简化后的公式无法体现细节信息（近似是个冲激函数）
h_w_fractional=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi-fra_i))./sin(pi*(k-k_vi-fra_i)/N));
h_w_fractional_fra0_=(h_i/N)*abs(sin(pi*(k-k_vi))./sin(pi*(k-k_vi)/N));
figure(1)
plot(k,h_w_fractional,'Linewidth', 1.5);
line([5 5],[0 0.9356],'linestyle','-.', 'Color','r', 'LineWidth', 1); % 画出虚线
title('分数多普勒影响下归一化单径有效信道响应幅度图')
grid on
% 由下图可以看出，当fra=0时在整数抽样点可以取到最大幅值，因此（当不存在分数多普勒时）可近似看作是冲激函数h_w_integer。
figure(2)
plot(k,h_w_fractional_fra0_,'Linewidth', 1.5);
line([5 5],[0 0.99],'linestyle','-.', 'Color','r', 'LineWidth', 1); % 画出虚线
title('没有分数多普勒影响下归一化单径有效信道响应幅度图')
grid on
上图为仿真结果，从图上可以看出由于分数多普勒的存在，在k_vi = 5时并没有取到最大幅值（注意比较左右两幅图的区别）。需要注意的是，下图只是从幅度的角度说明了分数多普勒的影响，此外，分数多普勒还会引起相移也就是IDI：
三、论文算法
概述
提出一个用于OTFS系统的基于线性系统信道估计算法，该算法可以提取多普勒频移和信道增益，即使不同路径间存在明显的干扰；在低信噪比下，通过从有效信道向量中选择合适的样本，可以初步估计多普勒频移和信道增益。
导频设计
采用嵌入式导频设计（单个导频符号被嵌入到 DD 域中，并且在导频符号和数据符号之间插入了保护间隔，以避免干扰。），具体细节参考[1]的fig 3。 导频处接收到的符号为： 其中
L
[
k
,
l
]
\mathcal{L}[k,l]
L[k,l]为由于分数多普勒产生的干扰（从公式10可以看出，干扰主要来自于周围信号）：
算法细节
导频处实际接收到的符号包括三部分：导频处接收符号（该项通过阈值法实现初步接收，具体操作见[1]）+分数多普勒产生的干扰+噪声。对于接收信号的进一步准确估计主要分为两种情况分析：A .单径（路径间无干扰） B. 多径。 以上分别为单一路径（图a），可分离多径（图b，由于多普勒索引
k
v
i
k_{vi}
kvi相差较大，可以将多径看作多路单径处理），不可分离单径（图c，由于多普勒索引
k
v
i
k_{vi}
kvi相差较小，多径不可分离，因此需要用到下文中的“B. 多路径下的精确估计”进行处理）下多普勒域的有效信道响应。
A. 单一路径下的精确估计（相当于给定时延）
由式6可知，给定时延的信道响应为（利用等比数列求和公式求解）： 其中，h
ω
\omega
ω[k,l]是有效DD域信道，其为原始DD域响应的采样值，其中，
k
d
i
=
k
ν
i
+
κ
ν
i
k_{d_i}=k_{\nu_i}+\kappa_{\nu_i}
kdi=kνi+κνi，疑问：
k
d
i
k_{d_i}
kdi中是否包含分数多普勒项，对于问题求解有什么影响吗？（也即分数多普勒存在与否对于该问题的求解会产生什么影响？） 补充其化简过程： 将式13的结果继续整理为线性方程的形式： 为了得到参数
α
\alpha
αi和zi的值，需要两个信道响应
G
i
(
k
)
\mathcal{G}_i(k)
Gi(k)的采样值，此时就构造出了一个2×2的线性系统： 接下来就需要考虑如何得到有效信道的估计值，实际场景中该项的估计是存在误差的，即
G
^
i
(
k
)
=
G
i
(
k
)
+
e
(
k
)
\hat{\mathcal{G}}_i(k)=\mathcal{G}_i(k)+e(k)
G^i(k)=Gi(k)+e(k)，其中
G
^
i
(
k
)
=
h
^
w
[
k
,
l
τ
i
]
\hat{\mathcal{G}}_{i}(k)=\hat{h}_{w}[k,l_{\tau_{i}}]
G^i(k)=h^w[k,lτi]，然而
h
^
w
[
k
,
l
]
\hat{h}_{w}[k,l]
h^w[k,l]可以通过基于阈值的方法得到，即 也就是说，路径增益和多普勒频移估计的准确性一定程度上会受到门限值
T
\mathcal{T}
T取值的影响。 因此，路径增益和多普勒频移的精确估计就可以转化为求信道响应
G
i
(
k
)
\mathcal{G}_i(k)
Gi(k)的最优采样值；最优采样值的选取即找到能量最大的信道响应即可： 至此，已经计算出
α
\alpha
αi和zi，多普勒频移和信道增益可以从前文（例如式13）轻易得出： 到这一步，就完成了单路径下信道增益以及（分数）多普勒频移的精确估计。总结一下，单一路径下估计的基本思路如下图所示：
B. 多路径下的精确估计
当多普勒索引可以明显分离时，多径多普勒估计问题可以简化为单径问题处理，当多普勒索引彼此很接近时，需要引入多径场景单独处理，设某一时延lj下的路径数记为Pτ，多径影响下信道响应为： 将上式扩展为多径场景时，可将问题建模成（从式20怎么到式21，还没有很理解）： 将上式整理成矩阵的形式为： 为求解上述方程，与单径场景类似，取
2
P
τ
2P_τ
2Pτ个采样值进行求解，即： （至此，求解系数矩阵a、b的问题转化为求解有效DD域信道（或者说得到求解DD域信道的最佳采样值）。） 将该问题用线性系统进行表示，通过选择幅度最大的Pτ从而恢复出系数a和b，在这一基础上，通过下式恢复出多普勒频移和信道增益： 式26与式18结合可以估计处（分数）多普勒频移； 信道矩阵可以通过求解矩阵A得到。
四、仿真结果
参数设置：OTFS帧尺寸M=N=32，子载波间隔为7.5kHz，载波频率为3GHz，路径数P=5，归一化最大时延和多普勒为5和4，QPSK调制。 A. 单径： B. 多径： 从上述仿真结果可以看出，无论是再单径还是多径场景下，该算法估计的信道增益与多普勒频移与CRLB很接近。由于不同路径间存在干扰，多径下的CRLB与单径相比NMSE更高（关于CRLB的推导过程见[3]）。
五、总结
不管是单径还是多径场景，估计信道复增益以及分数多普勒的基本思想都是，通过已知的信道复增益的采样值，根据建立的方程组（式15及是24）反推出待求的参数值，根据建立的数量关系进一步反推得到
h
h
h和
v
v
v；单径和多径的不同之处在于参数数量以及所建立的方程组的维数不同，其基本思路是一致的。 以上为对于该论文的整理与串联，关于与本人目前研究非强相关的内容未作详细推导，建议辅助原文阅读效果最佳。
参考文献
[1] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in delay–doppler channels,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906–4917, 2019. [2] A. F. Molisch, “Delay-Doppler Communications: Principles and Applications,” in IEEE Communications Magazine, vol. 61, no. 3, pp. 10-10, March 2023, doi: 10.1109/MCOM.2023.10080900.https://ieeexplore.ieee.org/document/10080900 [3] F. Liu, Z. Yuan, Q. Guo, Z. Wang, and P. Sun, “Message passing-based structured sparse signal recovery for estimation of OTFS channels with fractional doppler shifts,” IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 20, no. 12, pp. 7773–7785, 2021. [4] 知乎：OFDM同步技术（2）——小数倍载波频率偏差估计https://zhuanlan.zhihu.com/p/337633382 （本文并未引用，但是若想要学习分数多普勒问题建议看看。此外，可以将OTFS分数多普勒的问题转到OFDM中小数CFO中研究，这样资料和公式推导都会完善许多。） [5] P. Raviteja, K. T. Phan, Y. Hong and E. Viterbo, “Interference Cancellation and Iterative Detection for Orthogonal Time Frequency Space Modulation,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 17, no. 10, pp. 6501-6515, Oct. 2018.doi: 10.1109/TWC.2018.2860011
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