2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？ 2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。 3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？ 4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
表1 对1000个会员调查的部分结果
DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510
注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。 （注：表2数据位于文件B2005Table2.xls中）
问题目录
question1question1.1question1.2 如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
question2question3
question1
question1.1
建立租赁模型: 设有
x
x
x张DVD，想看会员数为两万，满足度为
50
%
50\%
50% 有
a
%
a\%
a%个会员租赁两次，
(
1
−
a
)
%
(1-a)\%
(1−a)%个会员租赁一次 可得：
2
∗
x
∗
a
%
+
x
∗
(
1
−
a
)
%
=
20000
∗
0.5
2*x*a\% + x*(1-a)\% = 20000 * 0.5
2∗x∗a%+x∗(1−a)%=20000∗0.5 根据题目可知
a
=
60
a = 60
a=60 解得
x
=
6250
x = 6250
x=6250
将模型一般化，设统计中愿意观看的人数为
b
b
b,满足度为
w
w
w,则想看会员数为
b
/
1000
∗
100000
b/1000*100000
b/1000∗100000
x
=
⌈
(
b
/
1000
∗
100000
∗
w
)
/
(
2
∗
a
%
+
(
1
−
a
%
)
)
⌉
x = \lceil(b/1000*100000 * w)/(2*a\% + (1-a\%))\rceil
x=⌈(b/1000∗100000∗w)/(2∗a%+(1−a%))⌉
DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510需要准备张数625031251563782313
question1.2 如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
以下模型建立在租两次的会员月初租赁，月末还 ， 租一次的会员月初租，下月初还
建立会员重复模型： 设第
i
i
i个月来的会员数为
y
i
y_i
yi个会员 每个月有
a
%
a\%
a%个会员租赁两次，
(
1
−
a
)
%
(1-a)\%
(1−a)%个会员租赁一次，
a
=
60
a = 60
a=60 设会员重复率为
C
%
C\%
C% ,
C
=
50
C=50
C=50 则其中
min
(
a
%
y
j
∗
C
%
,
a
%
y
i
∗
C
%
)
\min{(a\%y_{j}*C\%,a\%y_{i}*C\%)}
min(a%yj∗C%,a%yi∗C%)和是同一个会员 其中
min
(
(
1
−
a
)
%
y
j
∗
C
%
,
(
1
−
a
)
%
y
i
∗
C
%
)
\min{((1-a)\%y_{j}*C\%,(1-a)\%y_{i}*C\%)}
min((1−a)%yj∗C%,(1−a)%yi∗C%)和是同一个会员
引入question1.1的模型 设统计中愿意观看的人数为
b
b
b,满足度为
w
w
w,则想看会员数为
b
/
1000
∗
100000
b/1000*100000
b/1000∗100000
设第
i
i
i个月有
x
x
x张DVD 有
a
%
a\%
a%个会员租赁两次，
(
1
−
a
)
%
(1-a)\%
(1−a)%个会员租赁一次 第
i
i
i个月来的满足的会员数为
y
i
y_i
yi个会员 可得：
2
∗
x
i
∗
a
%
+
x
i
∗
(
1
−
a
)
%
=
y
i
2*x_i*a\% + x_i*(1-a)\%= y_i
2∗xi∗a%+xi∗(1−a)%=yi
来的会员总数减去重复会员数必须大于等于要满足的会员数
{
y
1
+
y
2
+
y
3
−
min
(
a
%
y
2
∗
C
%
,
a
%
y
1
∗
C
%
)
−
min
(
a
%
y
3
∗
C
%
,
a
%
y
2
∗
C
%
)
−
min
(
a
%
y
1
∗
C
%
,
a
%
y
3
∗
C
%
)
−
min
(
(
1
−
a
)
%
y
2
∗
C
%
,
(
1
−
a
)
%
y
1
∗
C
%
)
−
min
(
(
1
−
a
)
%
y
3
∗
C
%
,
(
1
−
a
)
%
y
2
∗
C
%
)
−
min
(
(
1
−
a
)
%
y
1
∗
C
%
,
(
1
−
a
)
%
y
3
∗
C
%
)
≥
b
/
1000
∗
100000
∗
w
2
∗
x
i
∗
a
%
+
x
i
∗
(
1
−
a
)
%
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
3
a
n
s
=
m
i
n
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
\begin{cases} y_1+y_2+y_3 - \min{(a\%y_{2}*C\%,a\%y_{1}*C\%)} - \min{(a\%y_{3}*C\%,a\%y_{2}*C\%)} - \min{(a\%y_{1}*C\%,a\%y_{3}*C\%)} - \min{((1-a)\%y_{2}*C\%,(1-a)\%y_{1}*C\%)} - \min{((1-a)\%y_{3}*C\%,(1-a)\%y_{2}*C\%)} - \min{((1-a)\%y_{1}*C\%,(1-a)\%y_{3}*C\%)} \ge b/1000*100000*w \\ 2*x_i*a\% + x_i*(1-a)\%= y_i , i = 1,2,3 \\ ans = min{(x_1+x_2+x_3)} \end{cases}
⎩
⎨
⎧y1+y2+y3−min(a%y2∗C%,a%y1∗C%)−min(a%y3∗C%,a%y2∗C%)−min(a%y1∗C%,a%y3∗C%)−min((1−a)%y2∗C%,(1−a)%y1∗C%)−min((1−a)%y3∗C%,(1−a)%y2∗C%)−min((1−a)%y1∗C%,(1−a)%y3∗C%)≥b/1000∗100000∗w2∗xi∗a%+xi∗(1−a)%=yi,i=1,2,3ans=min(x1+x2+x3)
question2
设变量
x
i
j
x_{ij}
xij为租赁给第
i
i
i个会员第
j
j
j种DVD的情况，设定
x
i
j
=
1
x_{ij}=1
xij=1为租，
x
i
j
=
0
x_{ij}=0
xij=0为不租 如果有
n
n
n个客户,
m
m
m种DVD,客户在线订单数为
o
r
d
e
r
i
j
order_{ij}
orderij 则单个会员满意量为
b
i
j
=
{
(
11
−
o
r
d
e
r
i
j
)
,
o
r
d
e
r
i
j
>
0
0
,
o
r
d
e
r
i
j
=
0
b_{ij} = \begin{cases} (11-order_{ij}) , order_{ij}>0 \\ 0,order_{ij}=0 \end{cases}
bij={(11−orderij),orderij>00,orderij=0 那么客户总满意度量:
max
a
n
s
=
∑
1
≤
i
≤
n
,
1
≤
j
≤
m
x
i
j
∗
b
i
j
\max ans = \sum_{1\le i \le n , 1\le j \le m}x_{ij} * b_{ij}
maxans=∑1≤i≤n,1≤j≤mxij∗bij
要保证DVD数量不能超标 设第
j
j
j种DVD有
s
u
m
j
sum_j
sumj个，题目已知
s
u
m
j
sum_j
sumj
∑
1
≤
i
≤
n
x
i
j
<
=
s
u
m
j
,
j
=
1
,
2
,
3....
,
m
\sum_{1\le i \le n}x_{ij}<=sum_j , j = 1,2,3....,m
∑1≤i≤nxij<=sumj,j=1,2,3....,m
每个客户发3张不同的DVD或者不发DVD： 设0/1变量
y
i
y_i
yi
∑
1
≤
j
≤
m
x
i
j
=
y
i
∗
3
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
n
\sum_{ 1\le j \le m}x_{ij} = y_i*3 ,i=1,2,3,..n
∑1≤j≤mxij=yi∗3,i=1,2,3,..n
需要保证每个人都不会收到自己不喜欢的DVD，即客户在线订单数为0时候，不可以租给他。
x
i
j
≤
o
r
d
e
r
i
j
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
n
,
j
=
1
,
2
,
3
,
.
.
m
x_{ij} \le order_{ij} ,i=1,2,3,..n , j= 1,2,3,..m
xij≤orderij,i=1,2,3,..n,j=1,2,3,..m
LINGO求解：
sets:
aa/1..1000/:y;
bb/1..100/:sum;
cc(aa,bb):order,x,b;
endsets
data:
order = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','order');
sum = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','dvdsumj');
enddata
@for(cc(i,j):b(i,j)=@if(order(i,j)#gt#0,11-order(i,j),0));
max=@sum(cc(i,j):x(i,j)*b(i,j));
@for(bb(j):@sum(aa(i):x(i,j))<=sum(j));
@for(aa(i):@sum(bb(j):x(i,j))=y(i)*3);
@for(cc(i,j):x(i,j)<=order(i,j));
@for(cc(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(aa(i):@bin(y(i)));
注：LINGO读取EXCEL方法
客户/DVD ID第一张第二张第三张C0001D008D041D098C0002D006D044D062C0003D032D050D080C0004D007D018D041C0005D011D066D068C0006D019D053D066C0007D026D066D081C0009D053D078D100C0010D041D055D085C0011D059D063D066C0012D002D031D041C0013D021D078D096C0014D023D052D089C0015D013D052D085C0016D010D084D097C0017D047D051D067C0018D041D060D078C0019D066D084D086C0020D045D061D089C0021D045D050D053C0022D038D055D057C0023D029D041D095C0024D037D041D076C0025D009D069D081C0026D022D068D095C0027D050D058D078C0028D008D034D082C0029D026D030D055C0030D037D062D098
question3
在满足第二问的模型下:注意:
s
u
m
j
sum_j
sumj是变量(未知)
{
b
i
j
=
{
(
11
−
o
r
d
e
r
i
j
)
,
o
r
d
e
r
i
j
>
0
0
,
o
r
d
e
r
i
j
=
0
max
a
n
s
=
∑
1
≤
i
≤
n
,
1
≤
j
≤
m
x
i
j
∗
b
i
j
∑
1
≤
i
≤
n
x
i
j
<
=
s
u
m
j
,
j
=
1
,
2
,
3....
,
m
∑
1
≤
j
≤
m
x
i
j
=
y
i
∗
3
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
n
x
i
j
≤
o
r
d
e
r
i
j
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
n
,
j
=
1
,
2
,
3
,
.
.
m
\begin{cases} b_{ij} = \begin{cases} (11-order_{ij}) , order_{ij}>0 \\ 0,order_{ij}=0 \end{cases}\\ \max ans = \sum_{1\le i \le n , 1\le j \le m}x_{ij} * b_{ij}\\ \sum_{1\le i \le n}x_{ij}<=sum_j , j = 1,2,3....,m\\ \sum_{ 1\le j \le m}x_{ij} = y_i*3 ,i=1,2,3,..n \\ x_{ij} \le order_{ij} ,i=1,2,3,..n , j= 1,2,3,..m \end{cases}
⎩
⎨
⎧bij={(11−orderij),orderij>00,orderij=0maxans=∑1≤i≤n,1≤j≤mxij∗bij∑1≤i≤nxij<=sumj,j=1,2,3....,m∑1≤j≤mxij=yi∗3,i=1,2,3,..nxij≤orderij,i=1,2,3,..n,j=1,2,3,..m
因为
s
u
m
j
sum_j
sumj是变量,我们决定每种DVD的购买量,需要满足DVD总量不变,设已知总量为
n
u
m
s
u
m
num_{sum}
numsum
∑
1
≤
j
≤
m
s
u
m
j
=
n
u
m
s
u
m
\sum_{1\le j \le m}sum_j = num_{sum}
∑1≤j≤msumj=numsum
要使一个月内95%的会员得到他想看的DVD,按照第二问的限制下即发三张DVD就是满足该客户，否则不满足
∑
1
≤
i
≤
n
y
i
≥
n
∗
95
%
\sum_{1\le i \le n}y_i\ge n * 95\%
∑1≤i≤nyi≥n∗95%
再加上要使一个月内95%的会员得到他想看的DVD(舍弃)
∑
1
≤
i
≤
n
(
∑
1
≤
j
≤
m
(
o
r
d
e
r
i
j
!
=
0
)
=
∑
1
≤
j
≤
m
x
i
j
∗
(
o
r
d
e
r
i
j
!
=
0
)
)
≥
n
∗
95
%
\sum_{1\le i \le n}(\sum_{1\le j \le m} (order_{ij}!=0) = \sum_{1\le j \le m}x_{ij}*(order_{ij}!=0))\ge n*95\%
∑1≤i≤n(∑1≤j≤m(orderij!=0)=∑1≤j≤mxij∗(orderij!=0))≥n∗95%
LINGO求解：
sets:
aa/1..1000/:y;
bb/1..100/:sum,num;
cc(aa,bb):order,x,b;
endsets
data:
order = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','order');
num = @ole('D:\homewrok\建模\DVD租赁\B2005Table2.xls','dvdsumj');
enddata
@for(cc(i,j):b(i,j)=@if(order(i,j)#gt#0,11-order(i,j),0));
max=@sum(cc(i,j):x(i,j)*b(i,j));
@for(bb(j):@sum(aa(i):x(i,j))<=sum(j));
@for(aa(i):@sum(bb(j):x(i,j))=y(i)*3);
@for(cc(i,j):x(i,j)<=order(i,j));
@sum(bb(j):sum(j))=@sum(bb(j):num(j));
@sum(aa(i):y(i))>=950;
@for(cc(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(aa(i):@bin(y(i)));
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