线性方程组系数矩阵的秩与解的个数的关系
线性方程组的系数矩阵是n阶方阵线性方程组的系数矩阵是
m
×
n
m×n
m×n阶矩阵小结
线性方程组的系数矩阵是n阶方阵
齐次方程组：
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0
系数矩阵
A
n
×
n
A_{n×n}
An×n的秩解的个数满秩：
r
(
A
)
=
n
r(A)=n
r(A)=n仅有零解不满秩：
r
(
A
)
=
r
<
n
r(A)=r r(A)=r 注： 齐次线性方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0 一定有解.当 r ( A ) = r < n r(A)=r r(A)=r n − r n-r n−r . A x = 0 Ax=0 Ax=0 的通解结构： k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n − r ξ n − r k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r} k1ξ1+k2ξ2+...+kn−rξn−r . 非齐次方程组： A x = b Ax=b Ax=b；增广矩阵： A ‾ = [ A ∣ b ] \overline{A}=[A|b] A=[A∣b] 系数矩阵 A n × n A_{n×n} An×n的秩与增广矩阵 A ‾ n × n + 1 \overline{A}_{n×n+1} An×n+1的秩解的个数满秩： r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(A)=r(\overline{A})=n r(A)=r(A)=n有唯一解不满秩①： r ( A ) = r ( A ‾ ) = r < n r(A)=r(\overline{A})=r r(A)=r(A)=r r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) r(A)+1=r(\overline{A}) r(A)+1=r(A)无解 注： 当 r ( A ) = r ( A ‾ ) = r < n r(A)=r(\overline{A})=r r(A)=r(A)=r n − r n-r n−r，设其特解为 η \eta η . A x = b Ax=b Ax=b 的通解结构： η + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n − r ξ n − r \eta+k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r} η+k1ξ1+k2ξ2+...+kn−rξn−r . 线性方程组的系数矩阵是 m × n m×n m×n阶矩阵 齐次方程组： A x = 0 Ax=0 Ax=0 系数矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n的秩解的个数行满秩： r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m有无穷多解列满秩： r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n只有零解行列都不满秩： r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r有无穷多解 注： 行满秩为行向量组线性无关.列满秩为列向量组线性无关. 非齐次方程组： A x = b Ax=b Ax=b；增广矩阵： A ‾ = [ A ∣ b ] \overline{A}=[A|b] A=[A∣b] 系数矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n的秩与增广矩阵 A ‾ m × n + 1 \overline{A}_{m×n+1} Am×n+1的秩解的个数 r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{A}) r(A)=r(A)有解 r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(A)=r(\overline{A})=n r(A)=r(A)=n有唯一解 r ( A ) = r ( A ‾ ) = m < n r(A)=r(\overline{A})=m r(A)=r(A)=m r ( A ) = r ( A ‾ ) = r < n r(A)=r(\overline{A})=r r(A)=r(A)=r r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) r(A)+1=r(\overline{A}) r(A)+1=r(A)无解 注： 当 r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{A}) r(A)=r(A) 时， b b b可由列向量组线性表出，方程组有解.当行满秩时，必有解. 小结 在考试中通常会给出复杂的向量组 A A A，求解的个数。或者给出解的类型，求向量组的相关性。 主要找向量组 A A A的列向量的线性相关性。 文章来源
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