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非线性整数规划问题蒙特卡洛方法
非线性整数规划问题
非线性整数规划问题是指目标函数和约束条件都可能是非线性的，且变量为整数的优化问题。
在 MATLAB 中，没有专门的函数来求解非线性整数规划问题，但是可以通过蒙特卡洛方法来求得近似解。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法是一种用随机数来解决问题的方法，它的基本思想是：通过随机的方法来模拟问题的解，从而得到问题的近似解。
例 求解下列非线性整数规划问题：
max
Z
=
x
1
2
+
x
2
2
+
3
x
3
2
+
4
x
4
2
+
2
x
5
2
−
8
x
1
−
2
x
2
−
3
x
3
−
x
4
−
2
x
5
\begin{equation} \max \quad Z=x_{1}^2 + x_{2}^2 + 3x_{3}^2 + 4x_{4}^2 + 2x_{5}^2 - 8x_{1} - 2x_{2} - 3x_{3} - x_{4} - 2x_{5} \end{equation}
maxZ=x12+x22+3x32+4x42+2x52−8x1−2x2−3x3−x4−2x5
s.t.
{
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
≤
400
x
1
+
2
x
2
+
2
x
3
+
x
4
+
6
x
5
≤
800
2
x
1
+
x
2
+
6
x
3
≤
200
x
3
+
x
4
+
5
x
5
≤
200
0
≤
x
i
≤
99
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
x
i
∈
Z
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} \leq 400 \\ x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + x_{4} + 6x_{5} \leq 800 \\ 2x_{1} + x_{2} + 6x_{3} \leq 200 \\ x_{3} + x_{4} + 5x_{5} \leq 200 \\ 0 \leq x_{i} \leq 99, \quad i=1,2,3,4,5 \\ x_{i} \in \mathbb{Z}, \quad i=1,2,3,4,5 \end{array} \right. \end{equation}
s.t. ⎩
⎨
⎧x1+x2+x3+x4+x5≤400x1+2x2+2x3+x4+6x5≤8002x1+x2+6x3≤200x3+x4+5x5≤2000≤xi≤99,i=1,2,3,4,5xi∈Z,i=1,2,3,4,5
解
首先，我们需要定义目标函数和约束条件函数：
% 目标函数
function [z] = objfun(x)
z = x(1)^2 + x(2)^2 + 3*x(3)^2 + 4*x(4)^2 + 2*x(5)^2 - 8*x(1) - 2*x(2) - 3*x(3) - x(4) - 2*x(5);
end
% 约束条件函数
function [flag] = confun(x)
c = [x(1) + x(2) + x(3) + x(4) + x(5) - 400;
x(1) + 2*x(2) + 2*x(3) + x(4) + 6*x(5) - 800;
2*x(1) + x(2) + 6*x(3) - 200;
x(3) + x(4) + 5*x(5) - 200];
if all(c <= 0)
flag = 1;
else
flag = 0;
end
end
然后就可以开始蒙特卡洛模拟了：
% 蒙特卡洛模拟
n = 1000; % 模拟次数
lb = zeros(1, 5); % 变量下界
ub = 99*ones(1, 5); % 变量上界
sol = []; % 保存满足约束条件的解
fval = -inf; % 保存最大值
for i = 1:n
x = floor(lb + (ub - lb + 1).*rand(1, 5)); % 生成随机解
if confun(x) == 1 % 判断是否满足约束条件
z = objfun(x); % 计算目标函数值
if z > fval % 更新最大值
fval = z;
sol = x;
end
end
end
模拟次数越多，得到的解就越接近最优解，但是计算时间也会越长。
当模拟次数为 1,000 时，得到的近似解为：
>> sol
sol =
5 45 17 91 9
>> fval
fval =
35913
当模拟次数为 100,000 时，得到的近似解为：
>> sol
sol =
23 91 5 99 11
>> fval
fval =
47829
当模拟次数为 10,000,000 时，得到的近似解为：
>> sol
sol =
47 98 1 99 16
>> fval
fval =
50826
可以看到，当模拟次数越多时，得到的近似解越接近最优解。
本题若使用显式枚举法，需要枚举
10
0
5
=
1
0
10
100^5 = 10^{10}
1005=1010 种解，而蒙特卡洛模拟只需要模拟
1
0
7
10^7
107 次，便可以得到一个精度较高的近似解。
在精度要求不那么严格的情况下，蒙特卡洛模拟是一种非常有效的方法。
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