算法力扣 c++ 前缀和【动态规划状态机dp 性能优化】3098. 求出所有子序列的能量和

本文涉及知识点

动态规划状态机dp 性能优化

LeetCode3098. 求出所有子序列的能量和

给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个正整数 k 。一个子序列的能量定义为子序列中任意两个元素的差值绝对值的最小值。请你返回 nums 中长度等于 k 的所有子序列的能量和。由于答案可能会很大，将答案对 109 + 7 取余后返回。示例 1：输入：nums = [1,2,3,4], k = 3 输出：4 解释： nums 中总共有 4 个长度为 3 的子序列：[1,2,3] ，[1,3,4] ，[1,2,4] 和 [2,3,4] 。能量和为 |2 - 3| + |3 - 4| + |2 - 1| + |3 - 4| = 4 。示例 2：输入：nums = [2,2], k = 2 输出：0 解释： nums 中唯一一个长度为 2 的子序列是 [2,2] 。能量和为 |2 - 2| = 0 。示例 3：输入：nums = [4,3,-1], k = 2 输出：10 解释： nums 总共有 3 个长度为 2 的子序列：[4,3] ，[4,-1] 和 [3,-1] 。能量和为 |4 - 3| + |4 - (-1)| + |3 - (-1)| = 10 。

提示： 2 <= n == nums.length <= 50 -108 <= nums[i] <= 108 2 <= k <= n

动态规划（状态机dp)初版

动态规划的状态表示

pre 表示已经处理完前x个数组符合条件的数量,dp表示已经处理完x+1数组符合条件的数量。

pre[i][j][end][len] 表示此子序列： a，长度为len。 b,以nums[end]结束。 c,nums[j]-nums[i]的差最小。如果多个(i,j)符合条件，取最小的。比如：{1,2,3}的(I,j)是{0,1}而不是{1,2}。空间复杂度：O(nnnk) dp类似。

动态规划的转移方程

只需要从x 推导x+1，不需要推导x+2,x+3

⋯

\cdots

⋯ ，如果硬要的话需要用前缀和（后缀和）。　

{

不选择

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

且

[

]

−

[

]

[

]

−

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

\begin{cases} dp = pre && 不选择nums[x] \\ dp[i][j][x][len+1] += ... && else 且 nums[j]-nums[i] <= nums[x]-nums[end] \\ dp[end][x][x][len+1] += ... else \\ \end{cases}

⎩

⎨

⎧dp=predp[i][j][x][len+1]+=...dp[end][x][x][len+1]+=...else不选择nums[x]else且nums[j]−nums[i]<=nums[x]−nums[end] 时间复杂度：O(nnnkn) 估计超时剪枝：枚举的时候确保 i < j ，且 j <= x。

动态规划+前缀和

拆分成若干个子问题，假定序列存在(i,j)，且此序列的能力为power = nums[j]-nums[i]。

动态规划的状态表示

dp[len][end] 表示子序列的长度为len，最后一个元素是end。空间复杂度：O(kn)

利用前缀和优化动态规划的转移方程

枚举end，end not

∈

\in

∈(i,j) ，否则此序列的能量就不是nums[j]-nums[i]了。

{

∈

[

)

且

[

]

−

[

]

∈

(

)

且

[

]

−

[

]

\begin{cases} oldEnd \in [0,end)且nums[end] -nums[oldEnd] > power && end <= i \\ oedEnd \in (end,n) 且 nums[end] -nums[oldEnd] >= power && end >=j \\ \end{cases}

{oldEnd∈[0,end)且nums[end]−nums[oldEnd]>poweroedEnd∈(end,n)且nums[end]−nums[oldEnd]>=powerend<=iend>=j

如果不利用前缀和优先，时间复杂度：O(knn)，利用前缀和优化O(kn)。总时间复杂度：O(knkn)。

动态规划的初始状态

枚举所有长度为2

动态规划的填表顺序

_{len=3}^{n}

len=3n

动态规划的返回值

len == k 且 end >=j 才是需要统计的子序列数量。

代码

没用前缀和优化

理论上过不了，实际过了。

template

class C1097Int

{

public:

C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)

{

}

C1097Int operator+(const C1097Int& o)const

{

return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);

}

C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)

{

m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)

{

m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

C1097Int operator-(const C1097Int& o)

{

return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);

}

C1097Int operator*(const C1097Int& o)const

{

return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;

}

C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)

{

m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

bool operator==(const C1097Int& o)const

{

return m_iData == o.m_iData;

}

bool operator<(const C1097Int& o)const

{

return m_iData < o.m_iData;

}

C1097Int pow(long long n)const

{

C1097Int iRet = 1, iCur = *this;

while (n)

{

if (n & 1)

{

iRet *= iCur;

}

iCur *= iCur;

n >>= 1;

}

return iRet;

}

C1097Int PowNegative1()const

{

return pow(MOD - 2);

}

int ToInt()const

{

return m_iData;

}

private:

int m_iData = 0;;

};

class Solution {

public:

int sumOfPowers(vector& nums, const int K) {

m_c = nums.size();

sort(nums.begin(), nums.end());

C1097Int<> biRet = 0;

for (int i = 0; i < m_c; i++) {

for (int j = i + 1; j < m_c; j++) {

auto cur = Do(nums, i, j, K);

biRet += cur;

//std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.ToInt() << std::endl;

}

return biRet.ToInt();

}

C1097Int<> Do(const vector& nums,int i,int j, const int K) {

const int iDiff = nums[j] - nums[i];

vector>> dp(K + 1, vector>(m_c));

for (int end = 0; end <= i; end++) {

for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {

if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) {

dp[2][end] += 1;

}

dp[2][j] = 1;

for (int len = 3; len <= K; len++) {

for (int end = 0; end <= i; end++) {

for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {

if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) {

dp[len][end] += dp[len - 1][end1];

}

dp[len][j] = dp[len - 1][i];

for (int end = j+1; end < m_c; end++) {

for (int end1 = j; end1 < end; end1++) {

if (nums[end] - nums[end1] >= iDiff) {

dp[len][end] += dp[len - 1][end1];

}

return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), C1097Int<>())*iDiff;

}

int m_c;

};

测试用例

int main()

{

vector nums;

int k;

{

Solution sln;

nums = { 6,14,4,13 }, k = 3;