含有n个未知数
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x_1,x_2,\cdots,x_n
x1,x2,⋯,xn的n个线性方程的方程组
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
⋯
⋯
,
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
,
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\cdots,\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n,\\ \end{cases}
⎩
⎨
⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯,an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn,
克拉默法则 如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零，即
∣
A
∣
=
∣
a
11
⋯
a
1
n
⋮
⋮
a
n
1
⋯
a
n
n
∣
≠
0
|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} \not=0
∣A∣=
a11⋮an1⋯⋯a1n⋮ann
=0 那么方程组有唯一解
x
1
=
∣
A
1
∣
∣
A
∣
,
x
2
=
∣
A
2
∣
∣
A
∣
,
⋯
,
x
n
=
∣
A
n
∣
∣
A
∣
x_1=\frac{|A_1|}{|A|},x_2=\frac{|A_2|}{|A|},\cdots,x_n=\frac{|A_n|}{|A|}
x1=∣A∣∣A1∣,x2=∣A∣∣A2∣,⋯,xn=∣A∣∣An∣
其中
A
j
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
A_j(j=1,2,\cdots,n)
Aj(j=1,2,⋯,n)是吧系数矩阵A中第
j
j
j列的元素哟好难过方程组右端常数项代替后所得到的n阶矩阵，即
A
j
=
(
a
11
⋯
a
1
j
−
1
b
1
a
1
j
+
1
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a
n
1
⋯
a
n
j
−
1
b
n
a
n
j
+
1
⋯
a
n
n
)
A_j=\begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j-1}&b_1&a_{1j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj-1}&b_n&a_{nj+1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}
Aj=
a11⋮an1⋯⋯a1j−1⋮anj−1b1⋮bna1j+1⋮anj+1⋯⋯a1n⋮ann
证明：
把方程组写成矩阵方程
A
x
=
b
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
位
n
阶矩阵，因
∣
A
∣
≠
0
，故
A
−
1
存在
x
=
A
−
1
b
根据逆矩阵的唯一性，知
x
=
A
−
1
b
是方程组的唯一解向量
x
=
A
∗
∣
A
∣
b
=
1
∣
A
∣
(
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
)
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
=
1
∣
A
∣
(
b
1
A
11
+
b
2
A
21
+
⋯
+
b
n
A
n
1
b
1
A
12
+
b
2
A
22
+
⋯
+
b
n
A
n
2
⋮
b
1
A
1
n
+
b
2
A
2
n
+
⋯
+
b
n
A
n
n
)
即
x
j
=
1
∣
A
∣
(
b
1
A
1
j
+
b
2
A
2
j
+
⋯
+
b
n
A
n
j
)
=
1
∣
A
∣
∣
A
j
∣
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
证明：\\ 把方程组写成矩阵方程 Ax=b\\ A=(a_{ij})_{n\times n}位n阶矩阵，因|A|\not=0，故A^{-1}存在\\ x=A^{-1}b\\ 根据逆矩阵的唯一性，知x=A^{-1}b是方程组的唯一解向量\\ x=\frac{A^*}{|A|}b=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}\\ =\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} b_1A_{11}+b_2A_{21}+\cdots+b_nA_{n1}\\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+\cdots+b_nA_{n2}\\ \vdots\\ b_1A_{1n}+b_2A_{2n}+\cdots+b_nA_{nn}\\ \end{pmatrix}\\ 即x_j=\frac{1}{|A|}(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj})=\frac{1}{|A|}|A_j|(j=1,2,\cdots,n)
证明：把方程组写成矩阵方程Ax=bA=(aij)n×n位n阶矩阵，因∣A∣=0，故A−1存在x=A−1b根据逆矩阵的唯一性，知x=A−1b是方程组的唯一解向量x=∣A∣A∗b=∣A∣1
A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
b1b2⋮bn
=∣A∣1
b1A11+b2A21+⋯+bnAn1b1A12+b2A22+⋯+bnAn2⋮b1A1n+b2A2n+⋯+bnAnn
即xj=∣A∣1(b1A1j+b2A2j+⋯+bnAnj)=∣A∣1∣Aj∣(j=1,2,⋯,n)
例16 用克拉默法则求解线性方程组
{
x
1
−
x
2
−
x
3
=
2
2
x
1
−
x
2
−
3
x
3
=
1
3
x
1
+
2
x
2
−
5
x
3
=
0
\begin{cases} x_1-x_2-x_3=2\\ 2x_1-x_2-3x_3=1\\ 3x_1+2x_2-5x_3=0\\ \end{cases}
⎩
⎨
⎧x1−x2−x3=22x1−x2−3x3=13x1+2x2−5x3=0
解
∣
A
∣
=
∣
1
−
1
−
1
2
−
1
−
3
3
2
−
5
∣
=
5
+
9
−
4
−
(
3
+
10
−
6
)
=
3
≠
0
根据克拉默法则，有
x
1
=
A
1
∣
A
∣
=
1
3
∣
2
−
1
−
1
1
−
1
−
3
0
2
−
5
∣
=
1
3
(
10
−
2
−
5
+
12
)
=
5
x
2
=
A
1
∣
A
∣
=
1
3
∣
1
2
−
1
2
1
−
3
3
0
−
5
∣
=
1
3
(
−
5
−
18
+
3
+
20
)
=
0
x
3
=
A
1
∣
A
∣
=
1
3
∣
1
−
1
2
2
−
1
1
3
2
0
∣
=
1
3
(
−
3
+
8
+
6
−
2
)
=
3
解\\ |A|=\begin{vmatrix} 1&-1&-1\\ 2&-1&-3\\ 3&2&-5 \end{vmatrix} =5+9-4-(3+10-6)=3\not=0\\ 根据克拉默法则，有\\ x_1=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3}\begin{vmatrix} 2&-1&-1\\ 1&-1&-3\\ 0&2&-5 \end{vmatrix} =\frac{1}{3}(10-2-5+12)=5\\ x_2=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3}\begin{vmatrix} 1&2&-1\\ 2&1&-3\\ 3&0&-5 \end{vmatrix} =\frac{1}{3}(-5-18+3+20)=0\\ x_3=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3}\begin{vmatrix} 1&-1&2\\ 2&-1&1\\ 3&2&0 \end{vmatrix} =\frac{1}{3}(-3+8+6-2)=3\\
解∣A∣=
123−1−12−1−3−5
=5+9−4−(3+10−6)=3=0根据克拉默法则，有x1=∣A∣A1=31
210−1−12−1−3−5
=31(10−2−5+12)=5x2=∣A∣A1=31
123210−1−3−5
=31(−5−18+3+20)=0x3=∣A∣A1=31
123−1−12210
=31(−3+8+6−2)=3
结语
❓QQ:806797785
⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math
参考：
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p44-46.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p11.
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