Logistic 回归
Logistic 回归算法Logistic 回归简述Sigmoid 函数Logistic 回归模型表达式求解参数
θ
\theta
θ梯度上升优化算法
Logistic 回归简单实现使用 sklearn 构建 Logistic 回归分类器Logistic 回归算法的优缺点
Logistic 回归算法
Logistic 回归简述
Logistic 回归是一种用于解决二分类问题的机器学习算法。虽然 Logistic Regression 中包含了 Regression 一词，但实际上逻辑回归是一种用于分类的方法，而不是回归。
Logistic 回归通过建立一个逻辑回归模型来预测离散的输出变量，该输出变量可以是 0 或 1。具体来说，该模型基于输入特征的线性组合，通过拟合一个逻辑函数（通常是 sigmoid 函数）将线性组合映射到 [0, 1] 的概率范围内，从而预测输入特征与离散输出变量之间的关系，并将输出映射到 0 或 1 两个不同的类别。
假设现在有一些数据点，我们利用一条直线对这些数据点进行拟合（该直线称为最佳拟合直线），这个拟合过程就称作为回归。如下图所示：
利用逻辑回归模型进行分类的主要思想：根据现有数据，对分类边界建立回归公式，以此进行分类。
Sigmoid 函数
想了解 Logistic 回归，首先需要了解 sigmoid 函数，其公式如下：
f
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
f(x)=1+e−x1 sigmoid 函数曲线如下图所示：
Logistic 回归模型表达式
逻辑回归模型从本质上来说是一个基于条件概率的判别模型，逻辑回归模型的数学表达式如下：
p
(
y
=
1
∣
x
)
=
1
1
+
e
(
−
z
)
p
(
y
=
0
∣
x
)
=
1
−
p
(
y
=
1
∣
x
)
p(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{(-z)}} \\ p(y=0|x) = 1 - p(y=1|x)
p(y=1∣x)=1+e(−z)1p(y=0∣x)=1−p(y=1∣x) 其中，
p
(
y
=
1
∣
x
)
p(y=1|x)
p(y=1∣x) 表示给定输入
x
x
x 时，输出变量
y
=
1
y=1
y=1 的概率，
z
z
z 表示输入特征
x
x
x 的线性组合加上一个偏置项
b
b
b，即
z
=
∑
i
n
w
i
x
i
+
b
z = \displaystyle\sum_{i}^{n}w_ix_i + b
z=i∑nwixi+b。
w
i
w_i
wi 为特征
x
i
x_i
xi 的权重，通过对训练数据进行最大似然估计或梯度下降等优化，可以确定最佳的权重参数
w
w
w 和偏置项
b
b
b。
如果我们把
z
z
z 展开，那么可以得到如下：
z
=
[
θ
0
θ
1
⋯
θ
n
]
[
x
0
x
1
⋮
x
n
]
+
b
=
θ
T
x
+
b
z = \begin{bmatrix} \theta_0 &\theta_1 &\cdots &\theta_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + b = \theta^Tx + b
z=[θ0θ1⋯θn]
x0x1⋮xn
+b=θTx+b
h
θ
(
x
)
=
g
(
θ
T
x
+
b
)
=
g
(
z
)
=
1
1
+
e
−
z
h_\theta(x) = g(\theta^Tx + b) = g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
hθ(x)=g(θTx+b)=g(z)=1+e−z1
其中，
θ
\theta
θ 是参数列向量（要求解的），
x
x
x 是样本列向量（给定的数据集）。通过 sigmoid 函数可以将任意实数映射到 [0, 1] 区间。
h
θ
(
x
)
h_\theta(x)
hθ(x) 给出了输出变量为
1
1
1 的概率，比如
h
θ
(
x
)
=
0.7
h_\theta(x)=0.7
hθ(x)=0.7 表示有
70
%
70\%
70% 的概率判定类别为
1
1
1，有
30
%
30\%
30% 的概率判定类别为
0
0
0。
现在给出一个新的样本，如果我们能找到合适的参数列向量
θ
(
[
θ
0
,
θ
1
,
.
.
.
,
θ
n
]
)
\theta([\theta_0, \theta_1, ..., \theta_n])
θ([θ0,θ1,...,θn])，那么我们就可以将样本数据直接代入 sigmoid 函数中进行求解，得到其类别为
1
1
1 或
0
0
0 的概率，进而判定其所属类别。
求解参数
θ
\theta
θ
那么问题来了，我们该如何得到合适的参数向量
θ
\theta
θ？根据逻辑回归模型的表达式，可以得到如下：
p
(
y
=
1
∣
x
;
θ
)
=
h
θ
(
x
)
p
(
y
=
0
∣
x
;
θ
)
=
1
−
h
θ
(
x
)
p(y=1|x;\theta) = h_\theta(x) \\ p(y=0|x;\theta) = 1 - h_\theta(x)
p(y=1∣x;θ)=hθ(x)p(y=0∣x;θ)=1−hθ(x) 理想状态下，我们希望对每个样本的类别预测概率均为
1
1
1，也就是完全分类正确。但在实际情况中，很难做到如此完美，样本的类别预测概率越接近
1
1
1，其分类结果越准确。一个样本属于正样本的概率为
0.51
0.51
0.51，我们可以说它是正样本；另一个样本属于正样本的概率为
0.99
0.99
0.99，我们也可以说它是正样本；但显然，第二个样本的预测概率更高，更具说服力。我们可以将上述两个类别的条件概率合二为一，得到如下：
L
o
s
s
(
h
θ
(
x
)
,
y
)
=
h
θ
(
x
)
y
(
1
−
h
θ
(
x
)
)
(
1
−
y
)
Loss(h_\theta(x), y) = h_\theta(x)^y(1 - h_\theta(x))^{(1 - y)}
Loss(hθ(x),y)=hθ(x)y(1−hθ(x))(1−y) 我们称上式为损失函数（Loss Function）。当
y
=
1
y=1
y=1 时，第二项为
0
0
0；当
y
=
0
y=0
y=0 时，第一项为
0
0
0。为了简化问题，我们可以对整个表达式进行求对数，得到如下：
L
o
s
s
(
h
θ
(
x
)
,
y
)
=
y
log
h
θ
(
x
)
+
(
1
−
y
)
log
(
1
−
h
θ
(
x
)
)
Loss(h_\theta(x), y) = y \log h_\theta(x) + (1 - y) \log (1 - h_\theta(x))
Loss(hθ(x),y)=yloghθ(x)+(1−y)log(1−hθ(x)) 上述损失函数是对于一个样本而言的。假定样本之间相互独立，那么整个样本集的预测概率即为所有样本预测概率的乘积，基于此，可得到如下公式：
J
(
θ
)
=
∑
i
m
y
(
i
)
log
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
+
(
1
−
y
(
i
)
)
log
(
1
−
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
J(\theta ) = \displaystyle\sum_{i}^{m}y^{(i)}\log (h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log (1 - h_\theta(x^{(i)}))
J(θ)=i∑my(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))
−
J
(
θ
)
=
−
∑
i
m
y
(
i
)
log
(
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
+
(
1
−
y
(
i
)
)
log
(
1
−
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
-J(\theta ) = -\displaystyle\sum_{i}^{m}y^{(i)}\log (h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log (1 - h_\theta(x^{(i)}))
−J(θ)=−i∑my(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))
其中，
m
m
m 为样本总数，
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i) 表示第
i
i
i 个样本的类别，
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i) 表示第
i
i
i 个样本。由此可以得出，满足
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 最大或满足
−
J
(
θ
)
-J(\theta)
−J(θ) 最小的
θ
\theta
θ 值就是我们需要求解的答案。
为了使得
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 最大，我们可以使用最大似然估计、梯度上升或梯度下降优化算法求解参数
θ
\theta
θ。当损失函数为
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 时，可以使用梯度上升算法对参数
θ
\theta
θ 进行优化；当损失函数为
−
J
(
θ
)
-J(\theta)
−J(θ) 时，可以使用梯度下降算法对参数
θ
\theta
θ 进行优化。
梯度上升优化算法
假设存在一个函数
f
(
x
)
=
−
x
2
+
4
x
f(x) = -x^2 + 4x
f(x)=−x2+4x，如何计算该函数的极值？该函数的曲线如下图所示：
显然该函数的曲线开口向下，存在极大值。我们可以运用中学所学的知识对其求极值，其导数为
f
′
(
x
)
=
−
2
x
+
4
f'(x) = -2x + 4
f′(x)=−2x+4，令导数为
0
0
0，可得出
x
=
2
x=2
x=2 即为该函数的极大值点，且极大值为
4
4
4。
但在实际情况中，函数不会像上面那样简单，就算求出了函数的导数，也很难精确计算出函数的极值，此时可以考虑用迭代的方法逼近极值。这种通过迭代逼近寻找最佳拟合参数的方法就叫做最优化算法。值更新的公式表示如下：
x
i
+
1
=
x
i
+
α
⋅
∂
f
(
x
i
)
x
i
x_{i+1} = x_i + \alpha · \frac{\partial f(x_i)}{x_i}
xi+1=xi+α⋅xi∂f(xi) 其中，
α
\alpha
α 为步长，也就是学习率（Learning Rate），用于控制更新的幅度。更新示意图如下所示：
比如从
(
0
,
0
)
(0, 0)
(0,0) 开始，迭代路径为 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> ··· -> n，直到求出的
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为函数极大值的近似值。迭代逼近函数极大值的代码实现如下：
# 梯度上升
def gradient_ascent(alpha=0.01, precision=0.00000001):
"""
:param alpha: 学习率
:param precision: 停止迭代的阈值
:return: 逼近函数极值的极值点
"""
# 偏导表达式
def partial_derivative(x_old):
return -2 * x_old + 4
x_old = -1 # 初始值，给一个小于 x_new 的值
x_new = 0 # 梯度上升的起点，即从 (0, 0) 开始
while abs(x_new - x_old) > precision:
x_old = x_new
x_new = x_old + alpha * partial_derivative(x_old)
return x_new
if __name__ == '__main__':
result = gradient_ascent()
print(result)
---------
1.999999515279857
从上面可以看出，结果已经非常接近真实极值点
x
=
2
x=2
x=2，上述用到的就是梯度上升优化算法。同理，
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 这个损失函数的极值点也可以这样求出，只要计算出
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 的偏导，就可以利用梯度上升算法，求解出
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 的极大值。
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 关于
θ
\theta
θ 的偏导，求解过程如下：
∂
J
(
θ
)
θ
j
=
∂
J
(
θ
)
∂
g
(
θ
T
x
)
∗
∂
g
(
θ
T
x
)
∂
θ
T
x
∗
∂
θ
T
x
∂
θ
j
\frac{\partial J(\theta)}{\theta_j} = \frac{\partial J(\theta)}{\partial g(\theta^Tx)} * \frac{\partial g(\theta^Tx)}{\partial \theta^Tx} * \frac{\partial \theta^Tx}{\partial \theta_j}
θj∂J(θ)=∂g(θTx)∂J(θ)∗∂θTx∂g(θTx)∗∂θj∂θTx 其中，
∂
J
(
θ
)
∂
g
(
θ
T
x
)
=
y
∗
1
g
(
θ
T
x
)
+
(
y
−
1
)
∗
1
1
−
g
(
θ
T
x
)
\frac{\partial J(\theta)}{\partial g(\theta^Tx)} = y * \frac{1}{g(\theta^Tx)} + (y - 1) * \frac{1}{1 - g(\theta^Tx)}
∂g(θTx)∂J(θ)=y∗g(θTx)1+(y−1)∗1−g(θTx)1
g
′
(
z
)
=
d
1
1
+
e
−
z
d
z
=
g
(
z
)
(
1
−
g
(
z
)
)
⟹
∂
g
(
θ
T
x
)
∂
θ
T
x
=
g
(
θ
T
x
)
(
1
−
g
(
θ
T
x
)
)
g'(z) = \frac{d\frac{1}{1 + e^{-z}}}{dz} = g(z)(1-g(z)) \implies \frac{\partial g(\theta^Tx)}{\partial \theta^Tx} =g(\theta^Tx)(1 - g(\theta^Tx))
g′(z)=dzd1+e−z1=g(z)(1−g(z))⟹∂θTx∂g(θTx)=g(θTx)(1−g(θTx))
∂
θ
T
x
θ
j
=
∂
J
(
θ
1
x
1
+
θ
2
x
2
+
⋯
+
θ
n
x
n
)
∂
θ
j
=
x
j
\frac{\partial \theta^Tx}{\theta_j} = \frac{\partial J(\theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \cdots + \theta_nx_n)}{\partial \theta_j} = x_j
θj∂θTx=∂θj∂J(θ1x1+θ2x2+⋯+θnxn)=xj
综上可得，
∂
J
(
θ
)
θ
j
=
(
y
−
h
θ
(
x
)
)
x
j
\frac{\partial J(\theta)}{\theta_j} = (y - h_\theta(x))x_j
θj∂J(θ)=(y−hθ(x))xj 上述即为
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ) 关于
θ
\theta
θ 的偏导，有了偏导，我们可以进一步推导出梯度上升中的值更新公式：
θ
j
_
n
e
w
=
θ
j
_
o
l
d
+
α
⋅
∑
i
=
1
m
(
y
(
i
)
−
h
θ
(
x
(
i
)
)
)
x
j
(
i
)
\theta_{j\_new} = \theta_{j\_old} + \alpha \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}
θj_new=θj_old+α⋅i=1∑m(y(i)−hθ(x(i)))xj(i) 有了上述这些公式，我们就可以编写代码，计算出损失函数的最佳拟合参数。
Logistic 回归简单实现
有一个简单的数据集，其数据格式如下图所示：
该数据集共有三列数据，前两列为特征数据，最后一列为标签数据。我们可以将第一列特征数据看作
x
x
x 轴上的值，将第二列特征数据看作
y
y
y 轴上的值，根据对应标签的不同，对这些样本点进行分类。
代码实现如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 读取数据集
def read_dataset(file_path: str) -> (list, list):
"""
:param file_path: 数据集的路径
:return: 训练数据，训练标签
"""
data = [] # 用于存储特征数据；(100, 3)；三列分别表示 w0（偏置项）、w1（第一列特征数据权重）、w2（第二列特征数据权重）
labels = [] # 用于存储标签数据；(100,)
file = open(file_path)
for line in file.readlines():
line_list = line.strip().split()
data.append([1.0, float(line_list[0]), float(line_list[1])])
labels.append(int(line_list[2]))
file.close()
return data, labels
# 绘制样本分布图
def data_distribution(data: list, labels: list) -> None:
"""
:param data: 训练数据
:param labels: 训练标签
:return: 数据分布图
"""
data_arr = np.array(data) # 转成数组
num_samples = data_arr.shape[0] # 获取样本个数
x0_feature = [] # 存放标签为 0 的第一列中的特征数据
y0_feature = [] # 存放标签为 0 的第二列中的特征数据
x1_feature = [] # 存放标签为 1 的第一列中的特征数据
y1_feature = [] # 存放标签为 1 的第二列中的特征数据
for i in range(num_samples):
if labels[i] == 1: # 1 为正样本
x1_feature.append(data[i][1])
y1_feature.append(data[i][2])
else: # 0 为负样本
x0_feature.append(data[i][1])
y0_feature.append(data[i][2])
# 绘图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(x1_feature, y1_feature, s=20, c='r', marker='s', alpha=.5)
ax.scatter(x0_feature, y0_feature, s=20, c='g', alpha=.5)
plt.title('data distribution')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
# sigmoid 函数
def sigmoid(z):
"""
:param z: 目标值表达式
:return: sigmoid 表达式
"""
return 1.0 / (1 + np.exp(-z))
# 梯度上升
def gradient_ascent(data: list, labels: list, alpha=0.001, num_iteration=500) -> np.ndarray:
"""
:param data: 训练数据
:param labels: 训练标签
:param alpha: 学习率
:param num_iteration: 迭代次数
:return: 参数权重
"""
data_mat = np.mat(data) # 转成矩阵
labels_mat = np.mat(labels).transpose() # 转成矩阵，并进行转置
n = data_mat.shape[1] # data 的列数；3
weights = np.ones((n, 1)) # 有几个特征就有几个参数，这里有 3 个特征，因此有 3 个参数
# 训练模型，得到参数权重
for i in range(num_iteration):
h = sigmoid(data_mat * weights) # 预测值；(100, 1)
error = labels_mat - h # 真实值 - 预测值；(100, 1)
weights = weights + alpha * data_mat.transpose() * error # w_new = w_old + α * x^T * (y - y')
return weights.getA() # 将矩阵转换为数组，并返回权重数组
# 通过求解出的参数（回归系数），可以确定不同类别数据之间的分隔线，从而绘制出决策边界
def decision_boundary(data: list, labels: list, weights: np.ndarray) -> None:
"""
:param data: 训练数据
:param labels: 训练标签
:param weights: 参数权重
:return: 决策边界图
"""
data_arr = np.array(data) # 转成数组
num_samples = data_arr.shape[0] # 获取样本个数
x0_feature = [] # 存放标签为 0 的第一列中的特征数据
y0_feature = [] # 存放标签为 0 的第二列中的特征数据
x1_feature = [] # 存放标签为 1 的第一列中的特征数据
y1_feature = [] # 存放标签为 1 的第二列中的特征数据
for i in range(num_samples):
if labels[i] == 1: # 1 为正样本
x1_feature.append(data[i][1])
y1_feature.append(data[i][2])
else: # 0 为负样本
x0_feature.append(data[i][1])
y0_feature.append(data[i][2])
# 绘图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(x1_feature, y1_feature, s=20, c='r', marker='s', alpha=.5)
ax.scatter(x0_feature, y0_feature, s=20, c='g', alpha=.5)
x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = -(weights[0] + weights[1] * x) / weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.title('best fit')
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
file_path = r'D:\MachineLearning\testSet.txt'
# 获取训练数据和训练标签
data, labels = read_dataset(file_path)
# 查看样本分布
# data_distribution(data, labels)
# 获取权重
weights = gradient_ascent(data, labels) # 得到一个形状为 (3, 1) 的权重数组
print(weights)
# 查看决策边界
decision_boundary(data, labels, weights)
"""
weights 是一个包含三个元素的数组 [w0, w1, w2]，其中 w0 是偏置项（或者称为截距），w1 和 w2 分别是特征一和特征二的权重；
在二维空间中，线性分类器的决策边界通常是一条直线，其方程可以表示为 w0 + w1*x1 + w2*x2 = 0，其中 (x1, x2) 是特征一和特征二的取值；
将上述方程稍作变换，就可以得到 - (w0 + w1*x) / w2，其中 x = x1，也就是特征一的取值。这个表达式描述了特征一和特征二之间的决策边界，可以用来在二维平面上画出分类器的决策边界直线。
"""
---------
[[ 4.12414349]
[ 0.48007329]
[-0.6168482 ]]
上述代码在进行梯度上升优化时，每次都需要计算整个数据集，计算复杂度太高，我们可以使用随机梯度上升算法对其进行改进。主要改进有两点，第一点是动态调整学习率，使得学习率随着迭代次数的增加而减小；第二点是使用一个样本数据进行参数的更新，样本数据随机选取，且下一次迭代将从未使用过的样本点中选取。随机梯度上升算法可以有效地减少计算量，并保证回归效果。
经过综合对比，我们可以得到以下结论：
当数据集较小时，使用梯度上升算法效果较好当数据集较大时，使用改进的随机梯度上升算法效果较好
使用 sklearn 构建 Logistic 回归分类器
sklearn.linear_model 模块实现了 Logistic 回归算法，不仅如此，该模块还提供了很多模型供我们使用，比如 Lasso 回归、脊回归等。LogisticRegression 函数实现如下所示：
sklearn.linear_model.LogisticRegression(penalty='l2', dual=False, tol=0.0001, C=1.0, fit_intercept=True, intercept_scaling=1, class_weight=None, random_state=None, solver='lbfgs', max_iter=100, multi_class='auto', verbose=0, warm_start=False, n_jobs=None, l1_ratio=None)
- penalty：有 l1、l2、elasticnet、None 四个值可供选择，默认为 l2；l1 表示添加 l1 正则化，假设模型的参数满足拉普拉斯分布；l2 表示添加 l2 正则化，假设模型的参数满足高斯分布；elasticnet 表示添加 l1 和 l2 正则化；None 表示不添加正则项；所谓的正则项就是对参数施加一种约束，使得模型避免发生过拟合的现象，但是不一定加约束就更好，只能说在加约束的情况下，理论上应该可以获得泛华能力更强的结果
- dual：布尔值，默认为 False；二元公式仅适用于 liblinear 求解器的 l2 惩罚，当 n_samples > n_features 时，首选 dual=False
- tol：停止求解的标准，即求解到多少认为已经求出最优解，默认为 1e-4；
- C：正则化强度的倒数，必须是正浮点数，默认为 1.0；与 SVM 一样，数值越小，正则化强度越大
- fit_intercept：是否存在截距或偏差，即偏置项，默认为 True
- intercept_scaling：只有在使用求解器 liblinear 且 fit_intercept=True 时才有用，默认为 1
- class_weight：用于标示分类模型中各种类型的权重，可以是一个字典或 balanced 字符串，默认为 None；举个例子，对于 0、1 的二元模型，我们可以定义 class_weight={0: 0.9, 1: 0.1}，这样类型 0 的权重为 90%，而类型 1 的权重为 10%；如果 class_weight 选择 balanced，那么类库会根据训练样本量来计算权重，某种类型样本量越多，则权重越低，样本量越少，则权重越高，类权重计算方法为 n_samples / (n_classes * np.bincount(y))，n_samples 为样本数，n_classes 为类别数量，np.bincount(y) 会输出每个类的样本数，例如 y=[1, 0, 0, 1, 1]，则 np.bincount(y)=[2, 3]
- random_state：随机数种子，默认为 None；仅在 solver 为 sag、saga、liblinear 时有用
- solver：优化算法，默认为 lgfgs；对于小数据集，liblinear 是个不错的选择，而对于大数据集，sag 和 saga 速度更快；对于多分类问题，只有 newton-cg、sag、saga、lbfgs 能够处理多项式损失，而 liblinear 受限于一对剩余（OvR），就是用 liblinear 的时候，如果是多分类问题，得先把一种类别作为一个类别，剩余的所有类别作为另外一个类别，依次类推，遍历所有类别，从而进行分类；newton-cg、sag、lbfgs 这三种优化算法都需要损失函数的一阶或者二阶连续导数，因此不能用于没有连续导数的 L1 正则化，只能用于 L2 正则化，而 liblinear 和 saga 通吃 L1 和 L2 正则化；liblinear 使用了开源的 liblinear 库，内部使用了坐标轴下降法来迭代优化损失函数；lbfgs 是拟牛顿法的一种，利用损失函数二阶导数矩阵（即海森矩阵）来迭代优化损失函数；newton-cg 是牛顿法家族中的一种，利用海森矩阵来迭代优化；sag 是随机平均梯度下降，属于梯度下降法的变种，与普通梯度下降法的区别是每次迭代仅用一部分样本来计算梯度，适用于样本量多的情况；saga 是线性收敛的随机优化算法的变种
- max_iter：算法收敛的最大迭代次数，默认为 100
- multi_class：分类方式，有 auto、ovr、multinomial 可供选择，默认为 auto；如果选择的是 ovr，那么每个标签都会拟合出一个二元问题；当求解器为 liblinear 时，multinomial 不可用；如果数据是二元的，或者求解器为 liblinear，auto 会选择 ovr，其他情况则选择 multinomial
- verbose：日志冗长度，默认为 0，即不输出训练过程；为 1 的时候偶尔输出结果；大于 1 时对每个子模型都输出结果
- warm_start：热启动参数，默认为 False；如果为 True，则下一次训练以追加树的形式进行
- n_jobs：并行数，默认为 1；如果为 2，则表示用 CPU 的 2 个内核运行程序；如果为 -1，则表示用所有内核运行
- l1_ratio：elasticnet 的混合参数，仅在 penalty=elasticnet 时使用；如果为 0，则表示使用 l2 正则化
由 LogisticRegression 创建的实例对象 clf 具有以下方法：
decision_function(X) # 预测样本的置信度得分
- X：训练数据，形状为 (n_samples, n_features)
返回形状为 (n_samples, n_classes) 的置信度得分
densify() # 将系数矩阵转换为密集数组格式
fit(X, y, sample_weight=None) # 根据训练集拟合分类器
- X：训练数据，形状为 (n_samples, n_features)
- y：目标值（训练样本对应的标签），形状为 (n_samples,)
- sample_weight：样本权重，如果为 None，则样本权重相同
返回拟合的逻辑回归分类器
get_params(deep=True) # 以字典形式返回 MultinomialNB 类的参数
- deep：布尔值，默认为 True
返回参数
predict(X) # 预测所提供数据的类别标签
- X：预测数据，形状为 (n_samples, n_features)
以 np.ndarray 形式返回形状为 (n_samples,) 的每个数据样本的类别标签
predict_log_proba(X) # 返回预测数据 X 在各类别标签中所占的对数概率
- X：预测数据，形状为 (n_samples, n_features)
返回该样本在各类别标签中的预测对数概率，类别的顺序与属性 classes_ 中的顺序一致
predict_proba(X) # 返回预测数据 X 在各类别标签中所占的概率
- X：预测数据，形状为 (n_samples, n_features)
返回该样本在各类别标签中的预测概率，类别的顺序与属性 classes_ 中的顺序一致
score(X, y, sample_weight=None) # 返回预测结果和标签之间的平均准确率
- X：预测数据，形状为 (n_samples, n_features)
- y：预测数据的目标值（真实标签）
- sample_weight：默认为 None
返回预测数据的平均准确率，相当于先执行了 self.predict(X)，而后再计算预测值和真实值之间的平均准确率
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
def colicSklearn():
frTrain = open(r'D:\MachineLearning\horseColicTraining.txt') # 打开训练集
frTest = open(r'D:\MachineLearning\horseColicTest.txt') # 打开测试集
trainingSet = []
trainingLabels = []
testSet = []
testLabels = []
for line in frTrain.readlines():
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr = []
for i in range(len(currLine) - 1):
lineArr.append(float(currLine[i]))
trainingSet.append(lineArr)
trainingLabels.append(float(currLine[-1]))
for line in frTest.readlines():
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr = []
for i in range(len(currLine) - 1):
lineArr.append(float(currLine[i]))
testSet.append(lineArr)
testLabels.append(float(currLine[-1]))
classifier = LogisticRegression(solver='liblinear', max_iter=10).fit(trainingSet, trainingLabels)
test_accurcy = classifier.score(testSet, testLabels) * 100
print('正确率:%f%%' % test_accurcy)
if __name__ == '__main__':
colicSklearn()
---------
正确率:73.134328%
Logistic 回归算法的优缺点
优点
算法简单易于理解和实现，计算效率高。可以处理二分类和多分类问题。对特征之间的关联性不敏感，适用于处理高维数据。输出结果具有概率解释，可以用于判断样本属于某个类别的概率。
缺点
假设特征与目标变量之间存在线性关系，无法处理非线性关系。对异常值和缺失值比较敏感，需要进行数据预处理。容易出现欠拟合或过拟合的情况，需要进行正则化处理。无法处理特征之间的交互作用。
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# 导入乳腺癌数据集
cancer = load_breast_cancer()
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, random_state=42)
# 实例化 LogisticRegression 类对象
clf = LogisticRegression()
# 构建模型（通过特征数据和目标值进行拟合）
clf.fit(X_train, y_train)
# 模型预测及模型评估
y_preds = clf.predict(X_test)
score_train = clf.score(X_train, y_train)
score_test = clf.score(X_test, y_test)
print('预测结果：\n', y_preds)
print('score_train：\n', score_train)
print('score_test：\n', score_test)
print('参数 w：\n', clf.coef_) # 逻辑回归模型的参数 w 被保存在 coef_ 属性中，有多少个特征就有多少个元素值；返回一个 ndarray
print('参数 b：\n', clf.intercept_) # 逻辑回归模型的参数 b 被保存在 intercept_ 属性中；返回一个 numpy.float64
---------
预测结果：
[1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1]
score_train：
0.9413145539906104
score_test：
0.965034965034965
参数 w：
[[ 1.22440002 0.48664319 0.06352937 -0.00797829 -0.04664068 -0.22437161
-0.31006479 -0.13293702 -0.06990623 -0.01461688 0.04019255 0.56654259
0.08495207 -0.10626245 -0.00428387 -0.04735974 -0.06385535 -0.01706777
-0.01633678 -0.00450076 1.27651816 -0.55170925 -0.12709877 -0.02107244
-0.0843609 -0.67737772 -0.83304733 -0.24568832 -0.22469488 -0.06421085]]
参数 b：
[0.23061975]
# 实例化 LogisticRegression 类对象
clf_1 = LogisticRegression(C=0.01)
clf_2 = LogisticRegression()
clf_3 = LogisticRegression(C=100)
# 构建模型（通过特征数据和目标值进行拟合）
clf_1.fit(X_train, y_train)
clf_2.fit(X_train, y_train)
clf_3.fit(X_train, y_train)
# 可视化
plt.plot(clf_1.coef_.T, 'o', label='C=0.01')
plt.plot(clf_2.coef_.T, '^', label='C=1')
plt.plot(clf_3.coef_.T, 'v', label='C=100')
plt.xticks(range(cancer.data.shape[1]), cancer.feature_names, rotation=90)
plt.hlines(0, 0, cancer.data.shape[1])
plt.ylim(-1.5, 1.5)
plt.xlabel('Coefficient index')
plt.ylabel('Coefficient magnitude')
plt.legend()
plt.show()
print('C=0.01, score_train：\n', clf_1.score(X_train, y_train))
print('C=0.01, score_test：\n', clf_1.score(X_test, y_test))
print('C=1, score_train：\n', clf_2.score(X_train, y_train))
print('C=1, score_test：\n', clf_2.score(X_test, y_test))
print('C=100, score_train：\n', clf_3.score(X_train, y_train))
print('C=100, score_test：\n', clf_3.score(X_test, y_test))
---------
C=0.01, score_train：
0.9248826291079812
C=0.01, score_test：
0.958041958041958
C=1, score_train：
0.9413145539906104
C=1, score_test：
0.965034965034965
C=100, score_train：
0.9436619718309859
C=100, score_test：
0.965034965034965
Logistic 回归默认使用 L2 正则化约束，决定正则化强度的权衡参数叫做 C。C 值越大，对应的正则化强度越低。也就是说，C 值较大，Logistic 回归模型在训练集上的拟合效果会更好，容易倾向过拟合。C 值较小，模型更强调泛化能力，在测试集上的预测效果较好，使系数向量（w）更接近于 0（更强的正则化使得系数更趋向于 0，但系数永远不会正好等于 0）。
较小的 C 值可以让算法尽量适应大多数数据点，而较大的 C 值更强调每个数据点都分类正确的重要性。
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