一、引言
视频图像缩放技术在数字图像处理领域中有着广泛的应用。现在各种液晶设备的分辨率不同，视频图像输入的分辨率也各不相同，想要在显示器上正确的显示出相应图像画面，就必须对输入的图像大小进行缩放调整到显示屏支持的分辨率。 图像缩放算法有很多种，常见的包括：
最近邻插值（Nearest Neighbor Interpolation）：
优点：简单快速，计算量小。缺点：放大时会出现锯齿现象，质量较差。 双线性插值（Bilinear Interpolation）：
优点：较为简单，质量较高，图像平滑。缺点：计算量较大，处理边缘时可能出现模糊。 双三次插值（Bicubic Interpolation）：
优点：质量较高，图像平滑，边缘保持较好。缺点：计算量更大，可能引入一些伪影。 Lanczos插值（Lanczos Resampling）：
优点：质量较高，抗锯齿能力强。缺点：计算量大，处理速度较慢。 Lanczos插值的变种，如Lanczos-2、Lanczos-3等：
优点：在一定程度上平衡了计算量和质量。缺点：可能有些许伪影。
主流使用的缩放算法通常是双线性插值和双三次插值。双线性插值在实现简单的同时质量较高，适合一般性的图像缩放需求；双三次插值在质量上更为优秀，能够更好地保持图像细节，但计算量较大，适合对图像质量要求较高的场景。
二、双线性插值缩放算法原理
2.1 线性插值推导
在学习双线性之前，我们先来想一下：什么是线性？从中学时代大家都接触过一元一次方程，线性方程等等。老师解释的是：线性指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。 如上图所示，就是线性的函数。已知一个线性的函数方程，我们就能求出该直线上任意一点的值。比如已知直线方程 y=2x，我们就能求出x=1时，y=2、x=2时，y=4等等。 中学时候学过两点式直线方程，已知两点坐标就可以确定一条直线，公式为：
x
−
x
1
x
2
−
x
1
+
y
−
y
1
y
2
−
y
1
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
x2−x1x−x1+y2−y1y−y1 因此，我们就能通过已经知道的两个点，求出在该直线上的所有点的值，比如已知A的坐标(x1，y1)，B的坐标(x2，y2)，求出 [x1, x2] 区间内某一位置 x 在直线上的y值 公式变换一下就得到：
y
−
y
1
y
2
−
y
1
=
x
−
x
1
x
2
−
x
1
\frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1}
y2−y1y−y1=x2−x1x−x1 化简可得：
y
=
x
2
−
x
x
2
−
x
1
y
1
+
x
−
x
1
x
2
−
x
1
y
2
y=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}y_1+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2
y=x2−x1x2−xy1+x2−x1x−x1y2 就能通过两点的坐标，求出 x 所在位置的值y，这就是线性插值
2.2 双线性插值推导
双线性插值的意思就是：在两个方向上都进行线性插值。
已知四个点 Q11、Q12、Q21、Q22四个点的坐标所在的值，如何求P点坐标(x,y)的值。P点既不在Q11与Q22连线上，也不在Q12与Q21连线上，所以只用一次线性插值是不行的。我们可以在X方向，Y方向都使用一次线性插值，如下图所示：
第一步，在横向（X轴方向）在Q11与Q21直线之间用一次线性插值，求出x位置所在的a点的值。第二步，在横向（X轴方向）在Q12与Q22直线之间用一次线性插值，求出x位置所在的b点的值。第三步，在纵向（Y轴方向）在a与b直线之间用一次线性插值，求出y位置所在的p点的值。
公式如下： 假如我们想得到未知函数
f
f
f 在点P= (x，y)的值，假设我们已知函数 在Q11 (x1,y1)，Q12 (x1, y2), Q21 (x2,y1),及Q22 (x2,y2)四个点的值
首先在x方向进行线性插值，得到：
f
(
a
)
=
x
2
−
x
x
2
−
x
1
f
(
Q
11
)
+
x
−
x
1
x
2
−
x
1
f
(
Q
21
)
f(a)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})
f(a)=x2−x1x2−xf(Q11)+x2−x1x−x1f(Q21)
f
(
b
)
=
x
2
−
x
x
2
−
x
1
f
(
Q
12
)
+
x
−
x
1
x
2
−
x
1
f
(
Q
22
)
f(b)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})
f(b)=x2−x1x2−xf(Q12)+x2−x1x−x1f(Q22)再在y方向进行线性插值，得到：
f
(
p
)
=
y
2
−
y
y
2
−
y
1
f
(
a
)
+
y
−
y
1
y
2
−
y
1
f
(
b
)
f(p)=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(a)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(b)
f(p)=y2−y1y2−yf(a)+y2−y1y−y1f(b)
最后，将
f
(
a
)
f(a)
f(a)与
f
(
b
)
f(b)
f(b)带入可得到：
f
(
p
)
=
f
(
x
,
y
)
=
f
(
Q
11
)
(
x
2
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
(
x
2
−
x
)
(
y
2
−
y
)
+
f
(
Q
21
)
(
x
2
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
(
x
−
x
1
)
(
y
2
−
y
)
f(p)=f(x,y)=\frac{f(Q_{11})}{{(x_2-x_1)}{(y_2-y_1)}}{(x_2-x)(y_2-y)}+\frac{f(Q_{21})}{{(x_2-x_1)}{(y_2-y_1)}}{(x-x_1)(y_2-y)}
f(p)=f(x,y)=(x2−x1)(y2−y1)f(Q11)(x2−x)(y2−y)+(x2−x1)(y2−y1)f(Q21)(x−x1)(y2−y)
+
f
(
Q
12
)
(
x
2
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
(
x
2
−
x
)
(
y
−
y
1
)
+
f
(
Q
22
)
(
x
2
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
(
x
−
x
1
)
(
y
−
y
1
)
+\frac{f(Q_{12})}{{(x_2-x_1)}{(y_2-y_1)}}{(x_2-x)(y-y_1)}+\frac{f(Q_{22})}{{(x_2-x_1)}{(y_2-y_1)}}{(x-x_1)(y-y_1)}
+(x2−x1)(y2−y1)f(Q12)(x2−x)(y−y1)+(x2−x1)(y2−y1)f(Q22)(x−x1)(y−y1)
公式看起来有些复杂，我们先来分析一下，因为图像的像素间隔之间都是1，所以
(
x
2
−
x
1
)
(x_2-x_1)
(x2−x1)与
(
y
2
−
y
1
)
=
1
(y_2-y_1)=1
(y2−y1)=1，所以原式变为：
f
(
x
,
y
)
=
f
(
Q
11
)
(
x
2
−
x
)
(
y
2
−
y
)
+
f
(
Q
21
)
(
x
−
x
1
)
(
y
2
−
y
)
+
f
(
Q
12
)
(
x
2
−
x
)
(
y
−
y
1
)
+
f
(
Q
22
)
(
x
−
x
1
)
(
y
−
y
1
)
f(x,y)={f(Q_{11})}{(x_2-x)(y_2-y)}+{f(Q_{21})}{(x-x_1)(y_2-y)}+{f(Q_{12})}{(x_2-x)(y-y_1)}+{f(Q_{22})}{(x-x_1)(y-y_1)}
f(x,y)=f(Q11)(x2−x)(y2−y)+f(Q21)(x−x1)(y2−y)+f(Q12)(x2−x)(y−y1)+f(Q22)(x−x1)(y−y1) 再由下图可知：
由上图可以看出，像素点x
1
_1
1与x
2
_2
2的距离是1，那么x的坐标只比x
1
_1
1多零点几，则x的值向下取整 [x] =x
1
_1
1 所以区域1的值
=
x
−
[
x
1
]
=x-[x_1]
=x−[x1]记为
u
u
u，所以
x
2
−
x
=
1
−
(
x
−
[
x
]
)
x_2-x=1-(x-[x])
x2−x=1−(x−[x])为
1
−
u
1-u
1−u。同理
y
−
[
y
1
]
y-[y_1]
y−[y1]记为
v
v
v，所以
y
2
−
y
=
1
−
(
y
−
[
y
1
]
)
y_2-y=1-(y-[y_1])
y2−y=1−(y−[y1])为
1
−
v
1-v
1−v。 最终图示如下： 所示公式最终化简为：
f
(
x
,
y
)
=
f
(
Q
11
)
(
1
−
u
)
(
1
−
v
)
+
f
(
Q
21
)
u
(
1
−
v
)
+
f
(
Q
12
)
(
1
−
u
)
v
+
f
(
Q
22
)
u
v
f(x,y)={f(Q_{11})}{(1-u)(1-v)}+{f(Q_{21})}{u(1-v)}+{f(Q_{12})}{(1-u)v}+{f(Q_{22})}{uv}
f(x,y)=f(Q11)(1−u)(1−v)+f(Q21)u(1−v)+f(Q12)(1−u)v+f(Q22)uv 这就是双线性插值缩放算法的公式。
三、matlab实现双线性插值算法
首先准备一张图片，我保存了一张分辨率112*103大小的图片 这是我局部截图的QQ图标，保存下来的。打开matlab，执行对该图片进行双线性缩放，然后看结果，代码如下
% 读取图像
originalImage = imread('C:\Users\Administrator\Desktop\qq.jpg'); % 请替换为您自己的图像文件路径
% 设置缩放因子
scaleFactor = 2.2; % 缩放因子，大于1表示放大，小于1表示缩小
% 使用双线性插值进行图像缩放
scaledImage = imresize(originalImage, scaleFactor, 'bilinear');
% 显示原始图像和缩放后的图像
% 获取图像尺寸
[rows1, cols1, ~] = size(originalImage);
% 设置图像显示的实际大小
figure;
imshow(originalImage, 'InitialMagnification', 'fit'); % 图像自适应窗口大小
axis on; % 显示坐标轴
title('原始图像');
% 设置图像显示的尺寸和分辨率
set(gcf, 'Position', [100, 100, cols1, rows1]); % 设置图像窗口大小
set(gca, 'Units', 'pixels'); % 设置坐标轴单位为像素
set(gca, 'Position', [1080, 1080, cols1, rows1]); % 设置坐标轴位置和大小
% 获取图像尺寸
[rows, cols, ~] = size(scaledImage);
% 设置图像显示的实际大小
figure;
imshow(scaledImage, 'InitialMagnification', 'fit'); % 图像自适应窗口大小
axis on; % 显示坐标轴
title('缩放后的图像');
% 设置图像显示的尺寸和分辨率
set(gcf, 'Position', [100, 100, cols, rows]); % 设置图像窗口大小
set(gca, 'Units', 'pixels'); % 设置坐标轴单位为像素
set(gca, 'Position', [1080, 1080, cols, rows]); % 设置坐标轴位置和大小
我选择的是将该图片放大2.2倍，按理说放大后的分辨率应该为246*227（四舍五入） 结果一致
四、verilog实现双线性插值算法
双线性插值缩放算法原理以及matlab与verilog的实现（二）
参考：
双线性插值实现缩放详解
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