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0 专栏介绍1 什么是B样条曲线？2 基函数的de Boor递推式3 B样条曲线基本概念图解4 节点生成公式
0 专栏介绍
附C++/Python/Matlab全套代码课程设计、毕业设计、创新竞赛必备！详细介绍全局规划(图搜索、采样法、智能算法等)；局部规划(DWA、APF等)；曲线优化(贝塞尔曲线、B样条曲线等)。
详情：图解自动驾驶中的运动规划(Motion Planning)，附几十种规划算法
1 什么是B样条曲线？
为了解决贝塞尔曲线无法局部修正、控制性减弱、曲线次数过高、不易拼接的缺陷，引入B样条曲线(B-Spline)。对贝塞尔曲线不了解的同学请看曲线生成 | 图解贝塞尔曲线生成原理(附ROS C++/Python/Matlab仿真)
B样条曲线是一种用于表示和描绘曲线的数学工具，它在计算机图形学、计算机辅助设计、计算机动画和数值分析等领域得到广泛应用。其名称中的B代表了基本(basis)，而样条则是在各个领域中广泛应用的一种绘制曲线的技术，例如计算机图形学、物理学模拟、金融和经济分析等。在计算机图形学中，样条通常用于创建平滑的曲线和曲面，以便在三维场景中呈现出更真实的效果。在物理学模拟中，样条可用于描述物体的运动轨迹和变形过程。
B样条曲线的性质包括平滑性、局部控制性、递归计算和多项式插值。通过调整控制点的位置、权重和节点序列，可以改变B样条曲线的形状，从而实现对曲线的精确控制。B样条曲线常用于描述自然曲线和复杂曲线，如汽车外形、飞机机翼、艺术造型等。在计算机图形学中，B样条曲线可以用来生成圆滑的曲线路径，进行形状建模和渲染，以及实现动画效果等。
在运动规划中，B样条曲线也是一种很强大的曲线生成和轨迹优化工具，接下来介绍其基本原理。
2 基函数的de Boor递推式
B样条曲线的核心是具有局部性的基函数(Basic function)——当改变一个控制节点时，只会变动该点旁边有限段曲线(样条曲线则需要重新计算整条曲线，因为它由一组控制点唯一确定)，而非“牵一发动全身”。如图所示给出了B样条与贝塞尔曲线基函数的区别。
采用Cox-de Boor递推定义B样条曲线的基函数
N
i
,
k
(
t
)
=
t
−
t
i
t
i
+
k
−
t
i
N
i
,
k
−
1
(
t
)
+
t
i
+
k
+
1
−
t
t
i
+
k
+
1
−
t
i
+
1
N
i
+
1
,
k
−
1
(
t
)
N_{i,k}\left( t \right) =\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}N_{i,k-1}\left( t \right) +\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}\left( t \right)
Ni,k(t)=ti+k−tit−tiNi,k−1(t)+ti+k+1−ti+1ti+k+1−tNi+1,k−1(t)
其中
N
i
,
k
(
t
)
N_{i,k}\left( t \right)
Ni,k(t)称为第
i
i
i个控制节点的
k
k
k次(
k
+
1
k+1
k+1阶)B样条基函数，
i
=
0
,
1
,
⋯
,
n
−
1
i=0,1,\cdots ,n-1
i=0,1,⋯,n−1，
k
⩾
1
k\geqslant 1
k⩾1且规定
0
/
0
=
0
{{0}/{0}}=0
0/0=0。特别地，有
N
i
,
0
(
t
)
=
{
1
,
t
∈
[
t
i
,
t
i
+
1
)
0
,
o
t
h
e
r
w
i
s
e
N_{i,0}\left( t \right) =\begin{cases} 1,t\in \left[ t_i,t_{i+1} \right)\\ 0,\mathrm{otherwise}\\\end{cases}
Ni,0(t)={1,t∈[ti,ti+1)0,otherwise
即高次B样条基函数为若干低次B样条基函数的线性组合。
N
i
,
k
(
t
)
N_{i,k}\left( t \right)
Ni,k(t)的次数
k
k
k与控制节点的个数
n
n
n无关，因此B样条曲线自由度更大——允许定义多个控制点而不用担心曲线次数过高导致计算困难。
3 B样条曲线基本概念图解
B样条曲线定义为用基函数加权的控制节点
P
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
p
i
N
i
,
k
(
t
)
,
t
∈
[
t
k
,
t
n
)
\boldsymbol{P}\left( t \right) =\sum_{i=0}^{n-1}{\boldsymbol{p}_iN_{i,k}\left( t \right)}, t\in \left[ t_k,t_n \right)
P(t)=i=0∑n−1piNi,k(t),t∈[tk,tn)
其中
T
=
{
t
0
,
t
1
,
⋯
,
t
m
−
1
}
T=\left\{ t_0,t_1,\cdots ,t_{m-1} \right\}
T={t0,t1,⋯,tm−1}是一个一维单调非递减序列，称为节点向量(knot vector)，其中的元素
t
i
t_i
ti称为节点(knot)，区间
[
t
i
,
t
i
+
1
)
\left[ t_i,t_{i+1} \right)
[ti,ti+1)称为第
i
i
i个节点区间(knot range)，节点在样条曲线上的映射
P
(
t
i
)
\boldsymbol{P}\left( t_i \right)
P(ti)称为曲节点(knot point)。
在节点向量中，若某节点
t
i
t_i
ti出现
l
l
l次，则称
t
i
t_i
ti是重复度为
l
l
l的多重节点，否则为简单节点。与贝塞尔曲线不同，仅当B样条曲线首末节点重复度为
k
+
1
k+1
k+1时，曲线本身才穿过首末控制点。
接下来分析B样条曲线的局部支撑性。基函数
N
i
,
k
(
t
)
N_{i,k}\left( t \right)
Ni,k(t)在区间
[
t
i
,
t
i
+
k
+
1
]
\left[ t_i,t_{i+k+1} \right]
[ti,ti+k+1]上非零，因为该区间上总存在不为零的零阶基函数
N
i
,
0
N_{i,0}
Ni,0，该区间称为支撑区间，对应样条曲线上的区段称为支撑曲线。由于
N
i
,
k
(
t
)
N_{i,k}\left( t \right)
Ni,k(t)直接与控制节点
p
i
\boldsymbol{p}_i
pi相乘，所以
p
i
\boldsymbol{p}_i
pi只影响其支撑区间
[
t
i
,
t
i
+
k
+
1
]
\left[ t_i,t_{i+k+1} \right]
[ti,ti+k+1]上对应支撑曲线的形状。所以B样条曲线也可视为若干段贝塞尔曲线的拼接，是贝塞尔曲线的推广，相邻贝塞尔曲线间存在若干重合节点，保留了对称性、几何不变性、变差伸缩性等优良特性。
为使每个控制节点都有合法的支撑区间与之匹配，节点数量应满足
m
=
n
+
k
+
1
m=n+k+1
m=n+k+1
B样条曲线的次数指基函数多项式的最高次数，阶数则可视为控制节点
p
i
\boldsymbol{p}_i
pi所影响的节点数。当节点区间
[
t
i
,
t
i
+
1
)
\left[ t_i,t_{i+1} \right)
[ti,ti+1)上的非零
k
k
k次基函数达到最大数量
k
+
1
k+1
k+1个时，令其满足
∑
j
=
i
−
k
i
N
j
,
k
=
1
\sum_{j=i-k}^i{N_{j,k}}=1
j=i−k∑iNj,k=1
称为基函数的加权性质。显然，对于
k
k
k次基函数，节点区间
[
t
0
,
t
k
)
\left[ t_0,t_k \right)
[t0,tk)与
[
t
n
,
t
n
+
k
)
\left[ t_n,t_{n+k} \right)
[tn,tn+k)上的非零基函数不足
k
+
1
k+1
k+1个，它们的加权和不为零，在这些区间计算B样条曲线会导致错误，因此B样条曲线定义在区间
[
t
k
,
t
n
)
\left[ t_k,t_n \right)
[tk,tn)上。如图所示是关于B样条曲线定义区间的实例说明。
4 节点生成公式
B样条曲线由控制节点与节点向量唯一确定，通过改变节点向量中节点的分布特征，可以构造不同类型的B样条曲线
均匀B样条曲线(Uniform B-Spline Curve) 节点向量中的节点沿数轴方向等距离均匀分布，所有节点区间等距，即
t
i
+
1
−
t
i
=
c
o
n
s
t
>
0
,
i
=
0
,
1
,
⋯
,
n
+
k
t_{i+1}-t_i=\mathrm{const}>0, i=0,1,\cdots ,n+k
ti+1−ti=const>0,i=0,1,⋯,n+k 准均匀B样条曲线(quasi-Uniform B-Spline Curve) 节点向量中的首末节点重复度为
k
+
1
k+1
k+1，其余节点沿数轴方向等距均匀分布且重复度为1。可以证明该情况下，当
k
=
n
k=n
k=n时，B样条基函数
N
i
,
k
(
t
)
N_{i,k}\left( t \right)
Ni,k(t)退化为伯恩斯坦多项式，即B样条曲线退化为贝塞尔曲线。 非均匀B样条曲线(non-Uniform B-Spline Curve) 节点向量任意分布
节点生成通常有两种方法：
均匀法
{
t
0
=
t
1
=
⋯
=
t
k
=
0
t
k
+
i
=
i
n
−
k
+
1
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
−
k
−
1
t
n
=
t
n
+
1
=
⋯
=
t
n
+
k
=
1
\begin{cases} t_0=t_1=\cdots =t_k=0\\ t_{k+i}=\frac{i}{n-k+1}, i=1,2,\cdots ,n-k-1\\ t_n=t_{n+1}=\cdots =t_{n+k}=1\\\end{cases}
⎩
⎨
⎧t0=t1=⋯=tk=0tk+i=n−k+1i,i=1,2,⋯,n−k−1tn=tn+1=⋯=tn+k=1 该方法不依赖于参数选择。De Boor法
{
t
0
=
t
1
=
⋯
=
t
k
=
0
t
k
+
i
=
1
k
∑
j
=
i
i
+
k
−
1
u
j
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
−
k
−
1
t
n
=
t
n
+
1
=
⋯
=
t
n
+
k
=
1
\begin{cases} t_0=t_1=\cdots =t_k=0\\ t_{k+i}=\frac{1}{k}\sum_{j=i}^{i+k-1}{u_j}, i=1,2,\cdots ,n-k-1\\ t_n=t_{n+1}=\cdots =t_{n+k}=1\\\end{cases}
⎩
⎨
⎧t0=t1=⋯=tk=0tk+i=k1∑j=ii+k−1uj,i=1,2,⋯,n−k−1tn=tn+1=⋯=tn+k=1 该方法对选择的参数进行窗口平滑。
曲线生成 | 图解B样条曲线生成原理(附ROS C++/Python/Matlab仿真)将继续介绍B样条曲线的计算算法——近似和插值应用，并给出代码实现。
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